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www.ks5u.com怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019年高三第一次模考理科数学第卷(选择题)一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合,再和求交集即可.【详解】解不等式得,即,因为,所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于基础题型.2.已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )A. 1B. -1C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】由复数的除法先求出复数,进而可得出结果.【详解】因为,所以,所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念,熟记复数的运算法则即可,属于基础题型.3.有下列四个命题:,.:,.:的充要条件是.:若是真命题,则一定是真命题.其中真命题是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的值域,判断;用特殊值法验证;根据充分条件和必要条件的概念判断;根据复合命题的真假判断.【详解】根据正弦函数的值域,可判断:,为真;当时,所以:,为真;时,但无意义,所以:的充要条件是为假命题;若是真命题,则或有一个为真即可,所以“:若是真命题,则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断,结合相关知识点判断即可,属于基础题型.4.两正数的等差中项为,等比中项为,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两正数的等差中项为,等比中项为,求出,进而可求出结果.【详解】因为两正数的等差中项为,等比中项为,所以,解得或,因为,所以,所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,熟记公式即可,属于基础题型.5.已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中,再从乙袋中随机地取出一个球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论:甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球;分别求出对应概率,再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下:(1)甲袋中取出黄球,则乙袋中有3个黄球和2个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为;(2)甲袋中取出红球,则乙袋中有2个黄球和3个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为;综上,所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型,以及分类讨论思想,分两种情况讨论即可得出结果,属于基础题型.6.设函数的图像关于原点对称,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由辅助角公式整理函数解析式,再由函数关于原点对称,即可求出结果.【详解】因为,又函数关于原点对称,所以,即,因为,所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质,熟记性质即可得出结果,属于基础题型.7.在的展开式中,项的系数为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式先求出,再由微积分基本定理即可求出结果.【详解】因为,展开式的通项为,所以在的展开式中,项的系数为,即;所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理,熟记定理即可,属于基础题型.8.的面积为,角的对边分别为,若,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由面积公式和余弦定理,可将化为,进而可求出结果.【详解】因为为的面积,所以,又,所以可化为,所以,因为为三角形内角,所以为钝角,又,所以,整理得,解得,所以,因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系,熟记公式即可,属于基础题型.9.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14,这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,其中表示圆内接正多边形的边数,执行此算法输出的圆周率的近似值依次为( ) (参考数据:,)A. 3,3.1056,3.1420B. 3,3.1056,3.1320C. 3,3.1046,3.1410D. 3,3.1046,3.1330【答案】B【解析】【分析】按程序框图,逐步执行即可得出结果.【详解】当时,输出;当时,输出;当时,输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图,分析框图的作用,逐步执行即可,属于基础题型.10.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则四边形面积的最小值为( )A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先由题意设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,求出,同理可求出,再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为,所以可设直线的方程为,代入并整理得,所以,同理可得,所以 故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合,联立直线与抛物线,结合韦达定理求出弦长,进而可求解,属于常考题型.11.如图,是某几何体的三视图,其正视图、侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥,进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥,将它放到棱长为2的正方体中,如图所示四棱锥即是该几何体,设外接球半径为,四棱锥的外接球即是正方体的外接球显然,所以,所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图,以及几何体外接球的相关计算,先由三视图确定几何体的形状即可求解,属于常考题型.12.设点为函数与的图像的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设,由以为切点可作直线与两曲线都相切,可得两函数在点处切线斜率相同,再由导数的方法即可求解.【详解】设,由于点为切点,则,又点的切线相同,则,即,即,又,于是,设,则,所以在单调递增,在单调递减,的最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,以及导数的几何意义,一般需要对函数求导,用导数的方法研究其单调性等,属于常考题型.第卷(非选择题)二、填空题(将答案填在答题纸上)13.设等比数列的前项的和为,且满足,则_【答案】32【解析】【分析】先设等比数列的公比为,再由,求出首项和公比,进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为,因为,所以,解得,所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列,熟记其通项公式和前项和公式,即可求出结果,属于基础题型.14.已知实数满足,则目标函数的最大值为_【答案】4【解析】【分析】先由约束条件作出可行域,再由目标函数可化为,结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如图所示:因为目标函数可化为,因此表示直线在轴截距的相反数,求的最大值,即是求截距的最小值,由图像可得直线过点B时截距最小,由解得,所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划,由约束条件作出可行域,再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解,属于基础题型.15.已知正方形的边长为2,为平面内一点,则的最小值为_【答案】-4【解析】【分析】由正方形的边长为2,以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,建立平面直角坐标系,分别写出四点坐标,再设,由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意,以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,建立平面直角坐标系,因为正方形的边长为2,所以可得,设,则,所以,因此,当且仅当时,取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,熟记向量数量积的坐标运算即可,属于常考题型.16.已知函数,若互不相等,且,则的取值范围是_【答案】【解析】画出函数 的图象(如图所示)不妨令,则由已知和图象,得,且,则,则,因为在恒成立,所以在单调递减,所以,三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列的前项的和为,.(1)求数列的通项公式;(2)设,记数列的前项和,求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】【分析】(1)先设设等差数列的公差为,由,列出方程组求出首项和公差即可;(2)由(1)先求出,再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解:(1)设等差数列的公差为,因为,所以 解得所以数列的通项公式为.(2)由(1)可知 ,,的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,以及裂项相消法求数列前项和的问题,熟记公式即可,属于基础题型.18.如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,为侧棱上的点.(1)求证:;(2)若平面,求二面角的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱上是否存在一点,使得平面.若存在,求的值;若不存在,试说明理由.【答案】(1)见证明;(2) (3)见解析【解析】【分析】(1)先证明平面,即可得到;(2)由题设知,连,设交于于,由题意知平面.以为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,求法向量的夹角余弦值,即可求出结果;(3)要使平面,只需与平面的法向量垂直即可,结合(2)中求出的平面的一个法向量,即可求解.【详解】(1)连交于,由题意.在正方形中,所以平面,得(2)由题设知,连,设交于于,由题意知平面.以为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图.设底面边长为,则高.则,又平面,则平面的一个法向量,平面的一个法向量,则,又二面角为锐角,则二面角为;(3)在棱上存在一点使平面.由(2)知是平面的一个法向量,且,设,则 又平面,所以,则.即当时,而不在平面内,故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质,以及空间向量的方法求二面角等,一般需要建立适当的坐标系,求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解,属于常考题型.19.在全国第五个“扶贫日”到来之际,某省开展“精准脱贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人,镇有基层干部60人,镇有基层干部80人,每人走访了不少贫困户.按照分层抽样,从三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,绘制成如下频率分布直方图.(1)求这40人中有多少人来自镇,并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为,求的分布列及数学期望.【答案】(1)40人中有16人来自镇,28.5户(2)见解析【解析】
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