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1 陕西省陕西省 2019 届高三第一次模拟联考届高三第一次模拟联考 理科数学试题理科数学试题 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1212 小题,共小题,共 60.060.0 分)分) 1.已知集合 A=x|-1x2,B=x|0x3,则 AB=( ) A. B. C. D. | 1 0() = (1) 令,可得, (1) = 0 = 1 当时, = 4 4 4 = 2 8 1 = 1 1 ( 4, 2) 并且时,是减函数, (0,1) () 1 = = 0 0 (2),() 0() 则不等式, 8 (1 + )3 + 6 1 + 3+ 3 即,故,即,解得或, ( 2 1 + ) () 2 1 + ( + 2)(1) + 1 0() 当时,单减; 3 2,3() 0) 3 (1)求椭圆 C 的方程 (2)过原点 O 的直线与线段 AB 交于点 D,与椭圆 C 交于 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值 【答案】 (1);(2) 2 4 + 2 3 = 1 2 6 【解析】 【分析】 (1)由题可知,进而可知椭圆方程。 , (2)由关于原点对称,表示出四边形的面积,求出的最大值是进而求出四 , = 2(+ 2) 边形的面积的最大值。 【详解】 (1)由题可知, = 2, = 3 所以椭圆方程是 . 2 4 + 2 3 = 1 (2)因为直线过原点,所以关于原点对称, , = + + + = 2+ 2= 2(+ 2) 16 直线方程 3 + 2 = 1 与平行的直线得方程 ,即 3 + 2 = ,( 0) 2 + 32 3 = 0 由 联立得 2 + 32 3 = 0 2 4 + 2 3 = 1 ? 22 + 222 = 0 由 可得 = 424(222)= 0 = 2 所以到直线的距离 = 2 3(21) 7 所以的最大值是 1 2 7 2 3(21) 7 = 3(21)= 6 3 而 = 1 2 3 2 = 3 的最大值是 . 2 (6 3 + 3)= 2 6 【点睛】求椭圆方程即求值,同时要注意焦点位置; , 本题求四边形面积的最大值的关键是将四边形面积分割成两部分求最值,属于中档题。 21.已知函数 f(x)=a+2x+ax+lnx, (aR) 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=,若对任意给定的 x0(0,2,关于 x 的函数 y=f(x)-g(x0)在(0,e上有两个 2 不同的零点,求实数 a 的取值范围 (其中 e 为自然对数的底数) 【答案】 (1)见解析 (2) 0) 1) 当时, 0 ()= (2 + 1)( + 1) 0 所以在上单增; ()(0, + ) 2) 当时,即; 1 ,即 ()= (2 + 1)( + 1) 0 + 1 0,0 00 1()(1, + ) ,即 的值域。 (0)= 2,(1)= 1 2() (2, 1 2 要使得在 有两个不同的零点,则 = ()(0) (0, , 1 2 () 2 0 1 ? 解得. 3 + 2 2+ 【点睛】本题考查利用导函数解不等式 (1)恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解 (2)证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题,属于偏难题目。 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数)以坐标系原点为极点,以 x 轴正半 = 2 + 2 = 2 轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 =2sin (1)写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,且POQ= ,求POQ 的面积的最大值 3 【答案】 (1),;(2) = 42+ 2 2 = 0 3 + 3 2 【解析】 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 (2)直接利用(1)的结论和三角形的面积公式的应用求出结果 【详解】 (1)曲线 C1的参数方程为( 为参数) , = 2 + 2 = 2 转换为直角坐标方程为:(x-2)2+y2=4, 18 转换为极坐标方程为:=4cos 曲线 C2的极坐标方程为 =2sin, 转换为直角坐标方程为:x2+y2-2y=0 (2)点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,且POQ= , 3 则:=, = 1 2 1 2 3 1 2 41 22 3 2 = 2 31 2 因为,所以, = 3 2= 1+ 3 所以 = 2 31 (1+ 3) = 2 31 (1 21 + 3 21) = 3(21 + 3) + 3 2 当时,此时的面积由最大值, (21+ 3) = 1 此时最大值为 = 3(1 + 3 2) = 3 + 3 2 【点睛】本题主要考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程组的解法及应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 23.已知函数 f(x)=2|x- |-|2x+1| 1 2 (1)求 f(x)的最大值 t; (2)若正实数 m,n 满足 n+m=mn,求证:t 3 1 2 + 2 2 【答案】 (1)2;(2)见解析 【解析】 【分析】 ()根据绝对值的意义,将函数表示为分段函数形式,结合函数的解析式求出函数的值域即可 ()根据条件得到,利用消元法,转化为一元二次函数,利用配方法进行求解证明即可 1 = 31 【详解】 (1)f(x)=2|x- |-|2x+1|=2|x- |-2|x+ | 1 2 1 2 1 2 则当 x 时,f(x)=-2(x- )+2(x+ )=2 1 2 1 2 1 2 当- x 时,f(x)=-2(x- )-2(x+ )=-4x,此时 f(x)-2,2, 1 2 1 2 1 2 1 2 当 x 时,f(x)=2(x- )+2(x+ )=-2 1 2 1 2 1 2 综上 f(x)-2,2,即函数的最大值为 2,即 t=2 (2)由 n+m=mn 得= + =, 3 + 1 1 3 19 即 =- 0 得 0 1 3 1 1 3 则=(- )2=3-+ =3( - )2+2, 1 2 + 2 2 3 1 + 2 2 2 3 3 2 1 1 3 0 ,当 = 时,取得最小值 2,即2 恒成立 1 3 1 1 3 1 2 + 2 2 1 2 + 2 2 【点睛】本题主要考查分段函数的应用以及不等式的证明,利用绝对值的意义进行转化求解,结合一元二次 函数的性质是解决本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题
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