1 专题专题 3535 线性规划求解技巧线性规划求解技巧 一一 【学习目标学习目标】 1 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元 一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决性规划问题，并能加以解决 2 2掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合 二二 【知识要点知识要点】 1 1二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域 (1)(1)二元一次不等式二元一次不等式AxAxByByC C00 在平面直角坐标系中表示直线在平面直角坐标系中表示直线AxAxByByC C0 0 某一侧的所有点组成的平某一侧的所有点组成的平 面区域面区域( (半平面半平面) )，不包括边界直线，不包括边界直线 不等式不等式AxAxByByC C00 所表示的平面区域所表示的平面区域( (半平面半平面) )包括边界直线包括边界直线 (2)(2)在平面直角坐标系中，设直线在平面直角坐标系中，设直线AxAxByByC C0(0(B B不为不为 0)0)及点及点P P( (x x0 0，y y0 0) )，则，则 若若B B00，AxAx0 0ByBy0 0C C00，则点，则点P P( (x x0 0，y y0 0) )在直线的上方，此时不等式在直线的上方，此时不等式AxAxByByC C00 表示直线表示直线 AxAxByByC C0 0 的上方的区域的上方的区域 若若B B00，AxAx0 0ByBy0 0C C00，则点，则点P P在直线的下方，此时不等式在直线的下方，此时不等式AxAxByByC C00 表示直线表示直线AxAxByByC C0 0 的下的下 方的区域方的区域 若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分 2 2线性规划相关概念线性规划相关概念 名称名称意义意义 约束条件约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束线性约束 条件条件 由由x x，y y的一次不等式的一次不等式( (或方程或方程) )组成的不等式组组成的不等式组 目标函数目标函数关于关于x x，y y的函数解析式的函数解析式 可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解 可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合 线性目标函数线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数目标函数是关于变量的一次函数 最优解最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值 3.3.常见简单的二元线性规划实际问题常见简单的二元线性规划实际问题 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如 何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务完成该项任务 解线性规划问题的一般步骤：解线性规划问题的一般步骤： 审题、设元审题、设元列出约束条件列出约束条件 ( (通常为不等式组通常为不等式组) )建立建立目标函数目标函数作出作出可行域可行域求求最优解最优解 三解题方法总结三解题方法总结 2 1.1.二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )表示的平面区域确定的方法表示的平面区域确定的方法 第一种：若用第一种：若用 y ykxkxb b 表示的直线将平面分成上下两部分表示的直线将平面分成上下两部分 不等式不等式区区 域域 y ykxkxb b表示直线上方的半平面区域表示直线上方的半平面区域 y ykxkxb b表示直线下方的半平面区域表示直线下方的半平面区域 第二种：用第二种：用 AxAxByByC C0(B0(B0)0)表示的直线将平面分成上下两部分表示的直线将平面分成上下两部分(B(B0 0 读者完成读者完成) ) 不等式不等式B B0 0B B0 0 AxAxByByC C0 0表示直线上方的半平面区域表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域表示直线下方的半平面区域 AxAxByByC C0 0表示直线下方表示直线下方的半平面区域的半平面区域表示直线上方的半平面区域表示直线上方的半平面区域 联系：将联系：将 AxAxByByC C0 0 表示的直线转化成表示的直线转化成 y ykxkxb b 的形式即是第一种的形式即是第一种. . 第三种：选特殊点判定第三种：选特殊点判定( (如原点如原点) )，取一点坐标代入二元一次不等式，取一点坐标代入二元一次不等式( (组组) )，若成立，则平面区域包括该点，若成立，则平面区域包括该点， 反之，则不包括反之，则不包括. . 2.2.线性规划问题求解策略线性规划问题求解策略 (1)(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下： 作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域； 移：由移：由 z zaxaxbyby 变形为变形为 y y x x ，所求，所求 z z 的最值可以看成是求直线的最值可以看成是求直线 y y x x 在在 y y 轴上的截距的轴上的截距的 a a b b z z b b a a b b z z b b 最值最值( (其中其中 a a，b b 是常数，是常数，z z 随随 x x，y y 的变化而变化的变化而变化) )，将直线，将直线 axaxbyby0 0 平移，在可行域中观察使平移，在可行域中观察使 最大最大( (或最或最 z z b b 小小) )时所经过的点；时所经过的点； 求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值； 答：写出最后结论答：写出最后结论. . (2)(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的 最优解一般在多边形的某个顶点处取得最优解一般在多边形的某个顶点处取得. . (3)(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据， 在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法调整优值法”去寻求最优解去寻求最优解. . 四典例分析四典例分析 例例 1设设满足约束条件满足约束条件，则，则的最大值是的最大值是 A0 0 B4 4 C5 5 D6 6 【答案答案】D 3 由，解得， 即，此时，故选 D 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤 是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优 解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐 标代入目标函数求出最值.学-科网- 练习练习 1已知实数已知实数 x,y 满足满足，若不等式，若不等式 ax y 0 0 恒成立，则实数恒成立，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A （， ） B （4，） C （ ，4） D （ ，4） 【答案答案】B 【解析解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示： 若 axy0 恒成立即 yax 恒成立，即平面区域在直线 yax 的下方即可 即 A（1，4）在 yax 的 下方或在直线上即可，即 a4， 故选：B 4 练习练习 2若若满足满足 则则的最小值等于的最小值等于 A B C D 【答案答案】B 【解析解析】由 ， 满足作出可行域如图，即为线段 AB， 联立，解得，化目标函数为， 由图可知，当直线过 A 时，直线在 轴上的截距最小， 有最小值为，故选：B （二）含绝对值的不等式（二）含绝对值的不等式 例例 2.2. 设设, x y满足约束条件满足约束条件，则，则zxy的最大值是的最大值是_ 【答案答案】2 【解析解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示 5 由图形得，当0,0xy时，且当直线经过点0,2A时z有最大值 2，故可得 zxy的最大值为 2 答案：2 练习练习 1已知实数已知实数x， y满足条件满足条件，则，则2zxy的最小值为（的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案答案】C 【解析解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为 z=2x+y,即2yxz ，求截距的最小值，过点 C(2,1)时， min 5z，选 C. 【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式： （1）截距型： ，与直线的截距相关联，若0b ，当 z b 的最值情况和 z 的一致； 若0b ，当 z b 的最值情况和z的相反； （2）斜率型：与, x y的斜率，常见的变形：， 6 ，. （3）点点距离型：表示, x y到,m n两点距离的平方； （4）点线距离型：表示, x y到直线的距离 的 22 ab倍. 练习练习 2若实数若实数, x y满足满足，则，则21xy的取值范围是（的取值范围是（ ） A0,4 B 1,3 C2,6 D0,3 【答案答案】A 【解析解析】作出不等式组表示的可行域如图 令2zxy ，则，则 1 2 z 表示直线2zxy在y轴上的截距，截距越大， z越大 由题意可得12A （，） ，此时12C（， ） 又可行域过点B时， z最大， 过点D时z最小， ， ，则 故选 A 3若实数若实数满足不等式组满足不等式组，则，则的最大值是（的最大值是（ ） 7 A15 B14 C11 D10 【答案答案】B 【解析解析】由题可知，作出目标函数的可行域，如图所示，由知，当目标函数经过点取得 最大值，即，故选 B （三）与圆有关的线性规划（三）与圆有关的线性规划 例例 3 3设设满足约束条件满足约束条件，则，则的最小值为的最小值为_ 【答案答案】 【解析解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时， 取得最小值，此时直线方程为 ，由点到直线的距离公式得，（取负值） ，即 的最小值为. 【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的