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现代分析学,实变函数论与泛函分析基础,第七章 度量空间和赋范线性空间,1 度量空间的进一步例子,2 度量空间中的极限,稠密集,可分空间,3 连续映射,第七章 度量空间和赋范线性空间,1 度量空间的进一步例子,定义:设 X 为一非空集合,d : XXR+0 为一映射,且满足,(1) d(x, y) 0,d(x, y) = 0 当且仅当 x = y(正 定性),(2) d(x, y) d(x, z) + d(y, z)(三点不等式),注: 距离 d 具有对称性, d(x, y)d(y, x) 事实上,d(x,y) d(x, x)d(y, x)d(y, x), 同理 d(y, x) d(x, y), 故 d(x, y) d(y, x). 如果 (X, d) 为度量空间,Y 是 X 的非空子集, 则 (Y, d) 也是度量空间,称为 (X, d ) 的子空间.,则称 d(x, y) 为x, y之间的距离,称 (X, d ) 为 度量空间.,例1 离散度量空间,设 X 是任意非空集合,对 X 中任意两点 x,yX, 令,显然,这样定义的,这种距离是最粗的。它只能区分 X 中任意两个元素是否相同,不能区分元素间的远近程度。 此例说明,在任何非空集合上总可以定义距离,使它成为度量空间。,例2 所有数列组成的集合 S,称为 Frchet 组合。,事实上,对 , 及 = cn S, 由于函数,是单调增函数,因此由,得,在上面不等式两边同乘,再求和,便得,因此 (S, ) 是距离空间。,例3 有界函数空间 B(A).,设 A 是个给定的集合,B(A)表示 A 上有 界实值(或复值)函数全体,对 B(A) 中的任意 两点 x, y, 定义,则 (x, y) 是 B(A) 上的度量,事实上, (x, y)显然满足10,以下证明也满足20.,对另一连续函数 zB(A), 由,所以,例4 可测函数空间 M(X).,设 M(X) 表示 X 上连续实值 (或复值)的 L 可测函数全体,m 为 L 测度,若 m(X) , 对 M(X) 中的任意两个函数 f, g, 定义,与例2同理可证 d(f, g) 是 M(X) 上的度量.事实上, 对任意两个可测函数 f (t) 及 g(t), 由于,,,所以这是 X 上的可积函数,如果把 M(X) 中的两个几乎处处相等的函数视为M(X),中的同一个元,那么利用上面不等式及积分性 质很容易验证d(f, g) 是度量.,因此 M(X) 按上述距离 d(f, g)成为度量空间。,例5 连续函数空间Ca, b.,令Ca, b表示闭区间 a, b 上连续实值 (或复值)函数全体,对 Ca, b 中的任意两点 x, y, 定义,与例3同理可证 (x, y) 是 Ca, b 上的度量.,例6 l2.,定义,则 d 是 l2 上的距离。距离条件10 是容易得 出的,现检验条件 20,对任何正整数 n,,都是 Rn 中的元素,由Cauchy不等式,再令右端 n,即得,再令左端的 n,即得,由此可得,即可得条件 20,由上述例子可见,度量空间除了有限维的 欧几里德空间 Rn 之外,还包括其他的空间.,2 度量空间中的极限,稠密集,可分空间,非空集合 X 引入距离(度量)后,就可以在其上定义极限概念。,定义1 设 (X, d) 为度量空间,d 是距离,定义,定义2 设 (X, d) 为度量空间,xn 是 X 中 的点列,如果存在 xX, 使得,称点列 xn 收敛于 x . x叫作点列xn的极限,记作,度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。比如极限的唯一性等等。,定理1 度量空间(X, d) 中的收敛点列xn的 极限是唯一的,且如果xn 收敛于 xX,则 xn 的任意子列xnk也收敛于x.,定义3 设 M 为度量空间 (X, d) 中的点集,定义,定理2 度量空间(X, d) 中的收敛点列xn是有 界集.,定理3 M 为度量空间 (X, d) 中的闭集 当且 仅当 M 中的任意收敛点列xn的极限均在M 中.,下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。,即按坐标收敛。,证明“必要性”:对任意的 i = 1, 2, . , n, 由于,“充分性”:若对任意的 i = 1, 2, . , n, 有,2.Ca, b 空间中,函数列xn 收敛于函数 x Ca, b 当且仅当xn一致收敛到x .,证明“必要性”:,即 xn 在 a, b 上一致收敛到 x .,“充分性”:若xn 一致收敛到 x , 则对任给 0, 存在正整数 N, 使得当 n N 时,对任意的 t a, b , 有,于是,当 n N 时,有,即按坐标收敛。,证明“必要性”:由于,取定 i , 任给 0, 存在正整数 N, 使得当 m N 时,有,“充分性”: 任给 0, 因为级数,所以存在正整数 k, 使得,因为 对每一个 i , (i = 1, 2, . ), 有,于是, 对每一个 i , (i = 1, 2, . , k-1), 存在,正整数 Ni, 使得当 m Ni 时,有,令 N = max N1 , N2 , . , Nk-1 , 当 m N 时,有,那么,当 m N 时,有,4. 可测空间 M(X) 中,函数列fn 收敛于函数 f M(X) 当且仅当fn依测度收敛于 f .,证明:与第五章的习题6,7同理可证.令 gn(t) = fn(t) - f (t) (t X , n=1,2,.).,“必要性”:首先对任意 0,由于,“充分性”:若,由有界控制收敛定理,,上述几个例子表明,尽管在各个具体空间中各种极限概念不一致(依坐标收敛,一致收敛,依测度收敛等),但当我们引入了适当的距离后,都可以统一在度量空间中考虑收敛概念,这就为统一处理各个具体空间提供了方便。,定义4 设 (X, d)为度量空间,E 和 M 是 X 中的 两个子集,定义,那么称集 M 在集 E 中稠密,当 E = X 时,称 M 是 X 中的一个稠密子集。如果 X 中有一 个可数的稠密子集,则称 X 是可分空间。,例1 n 维欧氏空间 Rn 是可分空间. 事实上,坐 标为有理数的全体是 Rn 的可数稠密子集.,例2 离散度量空间 X 是可分空间的充要条件 为 X 是可数集. 对 X 中任意点 x0, 令,对任意两点 x, y X, x y,因为,于是, X 中唯一的稠密子集只有 X 本身,因 此 X 是可分空间的充要条件为 X 是可数集.,例3 l .,定义,容易验证, d 是 l 上的距离。下面证明 l 不可分.,证明:,则 M 与二进制小数一一对应,即 M 与0, 1 等价,所以 M 的基数是 c.,对任意两点 x, y M, x y,显然,设 C 是 l 中的稠密子集,于是,对任意 x M, 作,因为 M 不可数, 所以上述邻域的个数也是不可数的, 因为 C 在 M 中稠密,于是对任意一个,这说明 l 是不可分的.,3 连续映射,如同数学分析中定义实数域上连续函数一 样定义度量空间中的连续映射。,定义1 设 (X, d ) , (Y, ) 为两个度量空间, T 是 X 到 Y 中映射, x0 X . 如果对任意 的 0, 存在 0, 使得对 X 中一切满足 d(x, x0 ) 的 x, 有 (Tx, Tx0 ) , 则称 T 在 x0 连续.,定义1(用邻域描述) 对 Tx0 的任意 - 邻域 U = U(Tx0, ), 必有 x0 的 - 邻域 V = V( x0, ) 使得,如同数学分析中的海涅(Heine)定理,可 以证明如下结论。,定理1 设 T 是 度量空间 (X, d ) 到 (Y, ) 中 的映射,那么 T 在 x0 连续的充分必要条件是,当 xnx0 (n) 时,必有 Txn Tx0 (n).,证明“必要性”:对任意 0,因为T 在 x0 连续,所以存在 0, 使得对 X 中一切满足 d(x, x0 ) 的 x, 有 (Tx, Tx0 ) ,而 xnx0 (n) ,所以对上述的 0, 存在 N 0, 当 n N 时,有必有 d(xn, x0 ) , 于是,有 (Txn, Tx0 ) , 从而,Txn Tx0 (n).,“充分性”:若不然,存在 0 0,对任意的 0,存在 x X,虽然 d(x , x0 ) ,但是 (Tx, Tx0 ) 0 ,但是 (Txn, Tx0 ) 0 , 这说明 Txn 不收敛到 Tx0 . 另一方面,由,即 xnx0 (n) ,由充分条件必有 Txn Tx0 (n),矛盾,所以 T 在 x0 连续.,定义2 如果映射 T 在 X 的每一点都连续, 则称 T 是 X 上的连续映射. 称集合,为 Y 的子集 M 在映射 T 下的原像,简记为,定理2 设 T 是度量空间 (X, d ) 到 (Y, ) 中 的映射,那么 T 是 X 上的连续映射充分必要 条件是Y 中的任意开集 M 在映射 T 下的原像,证明“必要性”:,因为 M 是开集,所以存在 Tx0 的 - 邻域 U = U(Tx0, ) 使得,因为 T 是 X 上的连续映射,所以 T 在 x0 连续,必有 x0 的 - 邻域 V = V( x0, ) 使得,“充分性”:设 x0 X . 对 Tx0 的任意 - 邻域 U = U(Tx0, ), 因为其原像为开集,,那么 T 在 x0 连续,由 x0 的任意性,T 是 X 上的连续映射.,作业:P218, 2.,3.,5.,6.,
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