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合肥一六八中学2018/2019学年第二学期期中考试高二数学(理)试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析:先将复数化为代数形式,再根据共轭复数的概念确定对应点,最后根据对应点坐标确定象限.详解:因为,所以 所以,对应点为,对应象限为第一象限,选A.点睛:首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明,我们分析出“对于可导函数,若,且满足当和时导函数值异号时,此时才是函数的极值点”,得出答案.【详解】对于可导函数,若,且满足当和时导函数值异号时,此时才是函数的极值点,所以大前提错误故选A【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假,属于基础题.3.函数的单调递减区间为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先求导数,再求导数小于零的解集得结果.详解:因为 ,所以因此单调递减区间为(0,1),选B.点睛:求函数的单调区间或存在单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想.4.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间,再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为,所以所求面积为,选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积,考查基本求解能力,属基本题.5.利用数学归纳法证明“”时,从“”变到“”时,左边应増乘的因式是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据“”变到“”变化规律确定选项.【详解】因为时,左边为,时左边为,因此应増乘的因式是,选D.【点睛】本题考查数学归纳法,考查基本分析求解能力,属基本题.6.给出一个命题 :若 ,且 ,则 , 中至少有一个小于零在用反证法证明 时,应该假设 ( )A. , 中至少有一个正数B. , 全为正数C. , 全都大于或等于 D. , 中至多有一个负数【答案】C【解析】【分析】根据否定结论得结果.【详解】, 中至少有一个小于零的否定为, 全都大于或等于 ,所以选C.【点睛】本题考查反证法,考查基本分析判断能力,属基本题.7.三角形的面积为,(为三角形的边长,为三角形的内切圆的半径)利用类比推理,可以得出四面体的体积为 ( )A. (为底面边长)B. (分别为四面体四个面的面积,为四面体内切球的半径)C. (为底面面积,为四面体的高)D. (为底面边长,为四面体的高)【答案】B【解析】【分析】根据类比规则求解.【详解】平面类比到空间时,边长类比为面积,内切圆类比为内切球,调节系数也相应变化,因此四面体的体积为(分别为四面体四个面的面积,为四面体内切球的半径),选B.【点睛】本题考查类比推理,考查基本分析推理能力,属基本题.8.函数,正确的命题是( )A. 值域为B. 在 是增函数C. 有两个不同的零点D. 过点的切线有两条【答案】B【解析】分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为,所以,因此当时在上是增函数,即在上是增函数;当时在上是减函数,因此;值域不为R;当时,当时 只有一个零点,即只有一个零点;设切点为,则,所以过点的切线只有一条;综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线,考查基本分析求解能力,属中档题.9.设,,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先研究函数单调性,再比较大小.【详解】,令,则因此当时,即在上单调递减,因为,所以,选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查基本分析判断能力,属中档题.10.已知函数图象上任一点处的切线方程为,那么函数的单调减区间是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义得导数,再解不等式得结果.【详解】由题意得,因此由得或,选D.【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.11.关于函数,下列说法错误的是A. 是的最小值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数,使得恒成立D. 对任意两个不相等的正实数,若,则【答案】C【解析】,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增,x=2是f(x)的极小值点,即A正确;,函数在(0,+)上单调递减,x0,y+,函数有且只有1个零点,即B正确;,可得令则,令,则,(0,1)上,函数单调递增,(1,+)上函数单调递减,在(0,+)上函数单调递减,函数无最小值,不存在正实数k,使得f(x)kx恒成立,即C不正确;对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增,若,则,正确。故选:C.点睛:不等式的存在问题即为不等式的有解问题,常用的方法有两个:一是,分离变量法,将变量和参数移到不等式的两边,要就函数的图像,找参数范围即可;二是,含参讨论法,此法是一般方法,也是高考的热点问题,需要求导,讨论参数的范围,结合单调性处理.12.已知函数是定义在R上的增函数, ,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先构造函数,再化简不等式,最后根据函数单调性解不等式.【详解】令,则,因此不等式化为选A.点睛】本题考查利用导数解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.已知,则的值为_【答案】【解析】【分析】根据定积分几何意义得结果.【详解】因为表示半个单位圆(上半圆)的面积,所以点睛】本题考查定积分几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.14.已知既成等差数列,又成等比数列,则形状是_.【答案】等边三角形【解析】【分析】根据等差数列与等比数列解得关系,进而确定形状.【详解】由题意得,即的形状是等边三角形.【点睛】本题考查三个数成等差数列与等比数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题.15.设为实数,若函数存在零点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先令函数,并求出函数的定义域,对函数求导,确定出函数的单调区间,从而求得函数的最小值,进一步求得结果.【详解】记函数,由题意得:,解得,所以函数的定义域为:,在上恒成立,所以在上是减函数,且,所以函数的值域为:,要使函数有零点,只需在函数值域范围内即可,所以,故答案是:.【点睛】该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题,应用导数求得结果,属于中档题目.16.如果函数在其定义域上有且只有两个数,使得,那么我们就称函数为“双函数”,则下列四个函数中:,为“双函数”的是_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】【分析】根据定义逐一验证选择.【详解】,有两解;有一解,;有两解,有无数个解综上填【点睛】本题考查新定义以及利用导数导数研究函数性质,考查综合分析求解能力,属中档题.三、解答题:共6大题,写出必要的解答过程.满分70分.17.已知复数(1)若为纯虚数,求实数的值;(2)若在复平面上对应的点在直线上,求实数的值【答案】()()【解析】分析:(1)若z为纯虚数,实部为0,虚部不为0,求实数a的值;(2)求出z在复平面上对应的点的坐标,代入直线x+2y+1=0,求实数a的值详解:若z为纯虚数,则,且,解得实数a的值为2;在复平面上对应的点,在直线上,则,解得点睛:对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、bR)是实数a;当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数018.设数列的前项之积为,并满足.(1)求;(2)证明:数列为等差数列.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据积项与通项关系的递推关系式,逐一代入得;(2)先归纳猜想,再根据数学归纳法证明,最后根据等差数列定义证明结论.【详解】(1)因为,所以,相除得,所以 (2)猜测:,并用数学归纳法证明:当时,结论成立,假设当时结论成立,即,当时,,所以,综上,因此 , ,所以数列为等差数列.【点睛】本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.19.已知函数 在处有极值. (1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间上有且仅有一个零点,求的取值范围.【答案】()见解析 () 【解析】解:()由题意知:2分令令的单调递增区间是单调递减区间是(-2,0)6分()由()知,为函数极大值,为极小值7分函数在区间-3,3上有且公有一个零点,即10分,即的取值范围是12分20.(1)设是坐标原点,且不共线,求证:;(2)设均为正数,且.证明:.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)先根据点到直线距离求高,再根据三角形面积公式的结果,(2)根据基本不等式进行论证.【详解】(1),B到直线OA距离为所以(2)因为,所以,.【点睛】本题考查点到直线距离公式以及基本不等式,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.21.(本小题满分14分)已知函数()求函数的单调递增区间;()证明:当时,;()确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有【答案】();()详见解析;()【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,令导函数大于0,解出即可;(2)构造函数F(x)=f(x)-x+1,先求出函F(x)的导数,根据函数的单调性证明即可;(3)通过讨论k的范围,结合函数的单调性求解即可试题解析:(1)得.得,解得故的单调递增区间是(2)令,则有当时,所以在上单调递减,故当时,即当时,(3)由()知,当时,不存在满足题意。当时,对于,有则从而不存在满足题意。当时,令,由得,。解得当时,故在内单调递增。从而当,即综上吗,k的取值范围是考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用22.已知函数,.(1)讨论函数的
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