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合肥一六八中学合肥一六八中学 2018/20192018/2019 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学(理)试卷高二数学(理)试卷 一、选择题一、选择题: :本大题共本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分. .在每小题所给出的四个选项中,只有在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 分析:先将复数化为代数形式,再根据共轭复数的概念确定对应点,最后根据对应点坐标确定象限. 详解:因为,所以 所以,对应点为,对应象限为第一象限, 选 A. 点睛:首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如 . 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数 的实部为 、虚部为 、模为、对应点为、共轭为 2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点, 因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中( ) A. 大前提错误B. 小前提错误 C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】 使用三段论推理证明,我们分析出“对于可导函数,若,且满足当和时导函数值 异号时,此时才是函数的极值点” ,得出答案. 【详解】对于可导函数,若,且满足当和时导函数值异号时,此时才是函 数的极值点,所以大前提错误 故选 A 【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假,属于基础题. 3.函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析:先求导数,再求导数小于零的解集得结果. 详解:因为 ,所以 因此单调递减区间为(0,1), 选 B. 点睛:求函数的单调区间或存在单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想. 4.由曲线,直线及 轴所围成的平面图形的面积为( ) A. 6B. 4C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求可积区间,再根据定积分求面积. 【详解】由,得交点为, 所以所求面积为,选 D. 【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积,考查基本求解能力,属基本题. 5.利用数学归纳法证明“”时,从“”变到“ ”时,左边应増乘的因式是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据“”变到“”变化规律确定选项. 【详解】因为时,左边为,时左边为 ,因此应増乘的因式是 ,选 D. 【点睛】本题考查数学归纳法,考查基本分析求解能力,属基本题. 6.给出一个命题 :若 ,且 ,则 , , , 中至少有一个 小于零在用反证法证明 时,应该假设 ( ) A. , , , 中至少有一个正数B. , , , 全为正数 C. , , , 全都大于或等于 D. , , , 中至多有一个负数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据否定结论得结果. 【详解】 , , , 中至少有一个小于零的否定为 , , , 全都大于或等于 ,所以选 C. 【点睛】本题考查反证法,考查基本分析判断能力,属基本题. 7.三角形的面积为, (为三角形的边长, 为三角形的内切圆的半径)利用类比推理, 可以得出四面体的体积为 ( ) A. (为底面边长) B. (分别为四面体四个面的面积, 为四面体内切球的半径) C. ( 为底面面积, 为四面体的高) D. (为底面边长, 为四面体的高) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据类比规则求解. 【详解】平面类比到空间时,边长类比为面积,内切圆类比为内切球,调节系数也相应变化, 因此四面体的体积为(分别为四面体四个面的面积, 为四面体内切球的 半径) ,选 B. 【点睛】本题考查类比推理,考查基本分析推理能力,属基本题. 8.函数,正确的命题是( ) A. 值域为B. 在 是增函数 C. 有两个不同的零点D. 过点的切线有两条 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为,所以, 因此当时在上是增函数,即在上是增函数; 当时在上是减函数,因此;值域不为 R; 当时,当时 只有一个零点,即只有一个零点; 设切点为,则,所以过点的切线只有一条; 综上选 B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线,考查基本分析求解能力,属中档题. 9.设,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先研究函数单调性,再比较大小. 【详解】,令,则 因此当时,即在上单调递减, 因为,所以,选 A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查基本分析判断能力,属中档题. 10.已知函数图象上任一点处的切线方程为,那么函数 的单调减区间是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数几何意义得导数,再解不等式得结果. 【详解】由题意得,因此由得或,选 D. 【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题. 11.关于函数,下列说法错误的是 A. 是的最小值点 B. 函数有且只有 1 个零点 C. 存在正实数 ,使得恒成立 D. 对任意两个不相等的正实数,若,则 【答案】C 【解析】 ,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增, x=2 是 f(x)的极小值点,即 A 正确; , 函数在(0,+)上单调递减,x0,y+, 函数有且只有 1 个零点,即 B 正确; ,可得令则, 令,则,(0,1)上,函数单调递增,(1,+)上函数单调递减, , 在(0,+)上函数单调递减,函数无最小值, 不存在正实数 k,使得 f(x)kx 恒成立,即 C 不正确; 对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增,若,则, 正确。 故选:C. 点睛:不等式的存在问题即为不等式的有解问题,常用的方法有两个: 一是,分离变量法,将变量和参数移到不等式的两边,要就函数的图像,找参数范围即可; 二是,含参讨论法,此法是一般方法,也是高考的热点问题,需要求导,讨论参数的范围,结合 单调性处理. 12.已知函数是定义在 R 上的增函数, ,则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先构造函数,再化简不等式,最后根据函数单调性解不等式. 【详解】令,则, 因此不等式化为选 A. 【点睛】本题考查利用导数解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题. 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2020 分分. . 13.已知,则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据定积分几何意义得结果. 【详解】因为表示半个单位圆(上半圆)的面积,所以 【点睛】本题考查定积分几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题. 14.已知既成等差数列,又成等比数列,则 的形状是_. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】 根据等差数列与等比数列解得关系,进而确定形状. 【详解】由题意得,即的形状是等边三角形. 【点睛】本题考查三个数成等差数列与等比数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题. 15.设 为实数,若函数存在零点,则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先令函数,并求出函数的定义域,对函数求导,确定出函数的单调区间,从而求得 函数的最小值,进一步求得结果. 【详解】记函数, 由题意得:,解得, 所以函数的定义域为:, 在上恒成立, 所以在上是减函数,且, 所以函数的值域为:, 要使函数有零点,只需 在函数 的值域范围内即可, 所以, 故答案是:. 【点睛】该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题,应用导数求得结果,属于中档题目. 16.如果函数在其定义域上有且只有两个数,使得,那么我们就称函数为 “双 函数” ,则下列四个函数中:,为“双 函数”的是 _(写出所有正确命题的序号) 【答案】 【解析】 【分析】 根据定义逐一验证选择. 【详解】,有两解 ;有一解 ,;有两解 ,有无数个解 综上填 【点睛】本题考查新定义以及利用导数导数研究函数性质,考查综合分析求解能力,属中档题. 三、解答题三、解答题: :共共 6 6 大题,写出必要的解答过程大题,写出必要的解答过程. .满分满分 7070 分分. . 17.已知复数 (1)若 为纯虚数,求实数 的值; (2)若 在复平面上对应的点在直线上,求实数 的值 【答案】 ()() 【解析】 分析:(1)若 z 为纯虚数,实部为 0,虚部不为 0,求实数 a 的值; (2)求出 z 在复平面上对应的点的坐标,代入直线 x+2y+1=0,求实数 a 的值 详解: 若 z 为纯虚数,则,且,解得实数 a 的值为 2; 在复平面上对应的点, 在直线上,则, 解得 点睛:对于复数,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、bR)是实数 a;当 b0 时,复数 z=a+bi 叫 做虚数;当 a=0 且 b0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0 18.设数列的前 项之积为,并满足. (1)求; (2)证明:数列为等差数列. 【答案】 (1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据积项与通项关系的递推关系式,逐一代入得;(2)先归纳猜想,再根据数学归纳法证 明,最后根据等差数列定义证明结论. 【详解】(1)因为,所以, 相除得, 所以 (2)猜测:,并用数学归纳法证明: 当时,结论成立, 假设当时结论成立,即, 当时,,所以, 综上, 因此 , ,所以数列为等差数列. 【点睛】本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义,考查基本分析论证与求解能力,属中档 题. 19.已知函数 在处有极值. (1)求函数的单调区间; (2)若函数在区间上有且仅有一个零点,求 的取值范围. 【答案】()见解析 () 【解析】 解:() 由题意知:2 分 令 令 的单调递增区间是 单调递减区间是(-2,0)6 分 ()由()知, 为函数极大值,为极小值7 分 函数在区间-3,3上有且公有一个零点, 即10 分 ,即 的取值范围是12 分 20.(1)设是坐标原点,且不共线,求证:; (2)设均为正数,且.证明:. 【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)先根据点到直线距离求高,再根据三角形面积公式的结果, (2)根据基本不等式进行论证. 【详解】 (1), B 到直线 OA 距离为 所以 (2)因为, 所以, . 【点睛】本题考查点到直线距离公式以及基本不等式,考查基本分析论证与求解能力,属中档题. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 ()求函数的单调递增区间; ()证明:当时,; ()确定实数 的所有可能取值,使得存在,当时,恒有 【答案】 ();()详见解析;() 【解析】 试题分析:(1)先求出函数的导数,令导函数大于 0,解出即可;(2)构造函数 F(x)=f(x)-x+1,先 求出函 F(x)的导数,根据函数的单调性证明即可;(3)通过讨论 k 的范围,结合函数的单调性求解即 可 试题解析:(1)得. 得,解得 故的单调递增区间是 (2)令, 则有 当时, 所以在上单调递减, 故当时,即当时, (3)由()知,当时,不存在满足题意。 当时,对于,有则 从而不存在满足题意。 当时,令, 由得,。 解得 当时,故在内单调递增。 从而当,即 综上吗,k 的取值范围是 考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用 22.已知函数,. (1)讨论函数的单调性; (2)若存在与函数,的图象都相切
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