1 唐山市唐山市 2016-20172016-2017 学年度高三年级第三次模拟考试学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） 2 20Ax xxlog1Bx yxAB A.B.C.D.0,1,22,0 2.已知 为虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）i211zii z A.B.C.D. 13 55 i 13 55 i 13 55 i 13 55 i 3.总体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则 选出来的 4 个个体的编号为（ ） A.05B.09C.11D.20 4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） 22 22 :10,0 xy Cab ab 20xyC A.B.或C.2D. 5 2 5 2 55 5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）4y x A.或或 1B.C.322 或 1D.1 2 2 6.数列是首项，对于任意，有，则前 5 项和（ ） n a 1 1a * ,m nN3 n mn aam n a 5 S A.121B.25 C.31D.35 7.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A.4B.8C.D. 4 3 8 3 8.函数（其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） 1 1 x x e f x x e e ABCD 9.若，则（ ） 9 29 0129 1xaa xa xa x 1239 aaaa A.1B.513C.512D.511 10.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ） cos 6 f xx 00, 3 1, 2 A.B.C.D. 3 5 , 2 3 5 3 , 6 2 5 , 6 5 5 , 6 3 11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点 2 :4C yxFNMyMNFMF 在抛物线上，则的面积为（ ）ECMNF A.B.C.D. 2 2 2 3 2 2 3 2 12.已知函数有两个极值点， 32 f xxaxbx 12 ,x x 3 且，若，函数，则（ ） 12 xx 102 23xxx 0 g xf xf x g x A.恰有一个零点B.恰有两个零点 C.恰有三个零点D.至多两个零点 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，则在方向上的投影为 3, 1a2,1bab 14.直线的三个顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为 2，则该球的表ABCO2ABACOABC 面积为 15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数., x y 10 210 0 xy xy xya 2zxy5a 16.数列的前项和为，若，则 n an n S * 2 1 4 2 nn n SanN n a 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在中，角，所对应的边分别为，.ABCABCabccosabbC （1）求证：；sintanCB （2）若，为锐角，求的取值范围.1a Cc 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果 如下： t 0,1515,3030,4545,6060,7575,90 男同学人数 711151221 女同学人数 89171332 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”. （1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？ （2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动. （i）求抽取的 4 位同学中既有男同学又有女同学的概率； （ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.XX 19.如图，平行四边形中，ABCD24BCAB 4 ，分别为，的中点，60ABCPAADEFBCPE 平面.AF PED （1）求证：平面；PA ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BFAFD 20.已知椭圆经过点，且离心率为. 22 22 :10 xy ab ab 1 3, 2 E 3 2 （1）求椭圆的方程； （2）直线 与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，求的最大值.l 222 :O xybMABAB 21.已知函数，. 2 ln1f xxax0a （1）讨论函数的单调性； f x （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. f x1,0 0 x 21 0 1exe 22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P 2 2 1: 24CxyOx 极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.OP90QQ 2 C （1）求曲线，的极坐标方程； 1 C 2 C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.0 3 1 C 2 CAB2,0MMAB 23.已知函数. 21f xxax （1）若，解不等式；1a 5f x （2）当时，求满足的的取值范围.0a 1 g af a 4g a a 5 唐山市 20162017 学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学参考答案 一选择题： BACCD DBDAC BA 二填空题： （13）（14）（15）（16）5443 1 2n n 三解答题： （17）解： （）由根据正弦定理得，cosabbCsinsinsincosABBC 即，sinsinsincosBCBBC ，sincoscossinsinsincosBCBCBBC ，sincossinCBB 得sintanCB （）由余弦定理得， 2 2222 2cos4428cababCbbb 由知，cosabbC 2 1cos1cos a b CC 由为锐角，得，所以.C0cos1C12b 从而有. 2 18c 所以的取值范围是.c 1,2 2 （18）解： （）设该校 4000 名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 8 1004000 x 320x 所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人. （） （）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率： 6 . 4 5 4 8 13 1 14 C P C （）可取 0，1，2，3.X ， 4 5 4 8 1 0 14 C P X C 13 35 4 8 3 1 7 C C P X C ， 22 35 4 8 3 2 7 C C P X C 31 55 4 8 1 3 14 C C P X C 的分布列为：X X0123 P1 14 3 7 3 7 1 14 . 13313 0123 1477142 E X （19）解： （1）连接，因为平面，平面，所以，AEAF PEDED PEDAFED P F E D CB A 在平行四边形中，ABCD24BCAB60ABC 所以，2AE 2 3ED 从而有， 222 AEEDAD 所以，AEED 又因为，AFAEA 所以平面，平面，ED PAEPAPAE 从而有，EDPA 又因为，PAADADEDD 所以平面.PA ABCD （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E 7 z y x P F E D CB A 则，0,2,0A 2 3,0,0D 3,1,0B 因为平面，所以，AF PEDAFPE 又因为为中点，所以，FPE2PAAE 所以，0,2,2P0,1,1F ，0, 1,1AF 2 3, 2,0AD 3,0,1BF 设平面的法向量为，AFD, ,nx y z 由，得，0AF n 0AD n 0 2 320 yz xy 令，得.1x 1, 3, 3n 设直线与平面所成的角为，则：BFAFD ， 2 321 sincos, 727 BF n BF n BF n 即直线与平面所成角的正弦值为.BFAFD 21 7 （20）解： （）由已知可得，解得， 22 31 1 4ab 22 3 2 ab a 2a 1b 所以椭圆 的方程为 2 2 1 4 x y （）当直线 垂直于轴时，由直线 与圆：相切，lxlO 22 1xy 可知直线 的方程为，易求.l1x 3AB 当直线 不垂直于轴时，设直线 的方程为，lxlykxm 由直线 与圆相切，得，即l 22 :1O xy 2 1 1 m k ， 22 1mk 8 将代入，整理得，ykxm 2 2 1 4 x y 222 148440kxkmxm 设，则， 11 ,A x y 22 ,B xy 12 2 8 14 km xx k 2 12 2 44 14 m x x k 2 22 121212 114ABkxxkxxx x ， 2 222 22 222 8161614 14 1 141414 kmmkm kk kkk 又因为， 22 1mk 所以， 22 2 22 2 31 4 31 2 1414 kk kk AB kk 当且仅当，即时等号成立， 2 31kk 2 2 k 综上所述，的最大值为 2.AB （21）解： （）， 2 1221 2 11 axax fxax xx 1x 令， 2 221g xaxax 2 4842aaa a 若，即，则，0 02a 0g x 当时，单调递增，1,x 0fx f x 若，即，则，仅当时，等号成立，0