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第27讲 Lp-空间简介,本讲目的:掌握Lp-空间的定义及其重要意义, 重点与难点: Newton-Leibniz公式的证明。,第27讲 Lp-空间简介,人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时,常常会碰到这样的问题:尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数(可微或连续函数),但当施行极限手续以求出准确解时却发现,迭代序列的极限不在原来所限定的范围内,这促使人们将函数的范围拓宽,空间理论正是在此基础上产生的。1907年,F.Riesz与Frechet首先定义了0,1上的平方可积函数空间,即,第27讲 Lp-空间简介,随后,人们又进一步考察p-方可积函数,得到空间 ,考虑这些空间的一个基本思想是,不再是将每一个函数当作一个孤立对象看,而是作为某一类集合中的一个元素,将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现在则要将这些树木放在起构成一片森林。,第27讲 Lp-空间简介,一. 空间的定义,我们知道,Rn中有线性运算,有距离公式,对于两个函数,可以定义它们的线性运算,但它们之间所谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先,所定义的距离必须有意义,例如,对于 中的两个函数 ,可以用 定义它们的距离,但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的。其次,所定义的距离,必须满足距离的一些最基本的性质。这些性质是什么呢?我们可以通过 中的距离归纳出来,即下面的,第27讲 Lp-空间简介,定义1 设 是一个集合。 的函数。满足:,(i)对任意,(ii)对任意,(iii),对任意,(三角不等式)。,则称是A上的距离,是E上的Lebesgue可测函数,,设,且,。,第27讲 Lp-空间简介,对任意 ,显然 仍是E上的可测函数,由于对任意实数 ,有,所以,第27讲 Lp-空间简介,因此不难看出 。 从 的定义,启发我们以下面的方式定义 上的距离: 由上面的讨论,显见对任意 ,有,第27讲 Lp-空间简介,即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢?为此,设 ,则得 , 于是 ,进而 由此立得 另一方面,若,第27讲 Lp-空间简介,则 ,从 而 。 上述分析说明, 并不是 上的距离,但使 的函数必有几乎处处相等的,反之亦然。因此,我们可以将 中几乎处处相等的函数放在一起,从而构成新的集合: 当且仅当,第27讲 Lp-空间简介,对任意 ,定义 不难看到,对任意 , ,恒有 故上面的定义是无歧义的,此外,若 ,则显然有 。这样, 作为 上的函数的确满足距离定义中的(i),至于(ii)则是显而易见的,所以只需验证它是否满足(iii)。,第27讲 Lp-空间简介,为方便起见,以后也用 记 ,只要说 则指的就是与 几乎处处相等的函数类 ,若 说 则指的就是单一的函数 。 二。几个重要的不等式 引理1 设 是正数, , ,则 等式成立当且仅当 ,或 中有一个为0。,第27讲 Lp-空间简介,证明:不妨设 ( 情形可类似证 明),由引理的条件知,于是要证的不等式可写成 即 记 ,则对任意 ,存在 ,使 , 因 ,所以 ,从而 ,,第27讲 Lp-空间简介,即 。令 ,立得 从证明过程可以看出,等号成立当且仅当 或 或0,证毕。 定理1(霍尔德(Holder)不等式) 设 ,(满足条件的 称作共轭数), , ,则,第27讲 Lp-空间简介,且 。 (1) 等式成立当且仅当 与 相差一个常数因子。 证明:若 中有一个为0,则(1)式显然成立(事实上,此时(1)式两边都为0),故不妨 设 均不为0。于是 都不为0,,第27讲 Lp-空间简介,记 则由引理1,当 , 都不为0时,有 即,第27讲 Lp-空间简介,且等号只有在 即 与 只差一个常数因子时才成立,不等式两边作积分得 ,此即所要的不等式,证毕。 定理2(Minkowski不等式),第27讲 Lp-空间简介,设 , , 则 (2) 若 ,则等号只在 与 相差一个非负常数因子时成立。 证明:当 时,不等式显然成立, 若 , 则不等式也是显然的,故不妨,第27讲 Lp-空间简介,设 ,且 ,注意到 时 , ,故 其中 是 的共轭数,即 ,于是由Holder不等式得 (3),第27讲 Lp-空间简介,类似地,也有 (4) 将两个不等式相加得,第27讲 Lp-空间简介,两边同除以 立得所要的不等式。 要使(2)式中的等号成立,必须且只需(3)、(4)及 (5)的第一个不等式成为 等式,而使 (3)、(4)成为等式的充要,第27讲 Lp-空间简介,条件是 , 与 都只差一常数因子.由于假设了 从而 ,所以 与 只差一常数因子,即存在常数c,使 进而 。要使(5)中第一个不等式成为等式,必须有,第27讲 Lp-空间简介,这意味着 与 的符号在E上几乎处处相 同, 从而由 得 所以 ,证毕。 由定理2不难看到 上的函数 满足三角不等式,即对任意 ,,第27讲 Lp-空间简介,有 。 事实上, 。 综上立知 是 上的距离 对 ,定义,第27讲 Lp-空间简介,则由距离的定义立得 (i) , 当且仅当 。 (ii)对任意 , 。 (iii) 称满足(i)、(ii)、(iii)的“函数” 为 上的范数, 称为 的范数,它是 中向量的“模”或“长度”概念的自然推广。,
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