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第八章1、 向量在轴上的投影:性质:(即Prj),其中为向量与轴的夹角; (即PrjPrj+ Prj); (即PrjPrj).2、 两个向量的向量积:设,则 = + + = 注:3、 二次曲面(1) 椭圆锥面:;(2) 椭圆抛物面:; (旋转抛物面:(把把面上的抛物线绕轴旋转)(3) 椭球面:; (旋转椭球面:(把面上的椭圆绕轴旋转)(4) 单叶双曲面:; (旋转单叶双曲面:(把面上的双曲线绕轴旋转)(5) 双叶双曲面:; (旋转双叶双曲面:(把面上的双曲线绕轴旋转)(6) 双曲抛物面(马鞍面):;(7) 椭圆柱面:; 双曲柱面:; 抛物柱面: 4、 平面方程(1) 平面的点法式方程:,其中 是平面上一点,为平面的一个法向量.(2) 平面的一般方程:,其中为平面的一个法向量.注:由平面的一般方程可得平面的一个法向量若=0,则平面过原点;若若(3) 平面的截距式方程:,其中分别叫做平面在轴上的截距.5、 两平面的夹角:特殊: 6、 点到平面的距离公式:7、 空间直线方程(1) 空间直线的一般方程: (2) 空间直线的对称式(点向式)方程:,其中为直线的一个方向向量,为直线上一点(3) 空间直线的参数方程:8、 两直线的夹角: 特殊: 9、 直线与平面的夹角:特殊: 直线与平面平行或在平面内:10、平面束的方程:设直线由方程组所确定,其中不成比例,则平面为通过直线的所有平面(不包含平面)第九章1、内点一定是聚点;边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指以任何方式趋于时,都无限接近于A,因此当以不同方式趋于时,趋于不同的值,那么这个函数的极限不存在3、偏导数:求时,只要把其他量看作常量而对求导数; 求时,只要把其他量看作常量而对求导数; 注意:(1)偏导数都存在并不一定连续;(2)为整体,不可拆分; (3)分界点,不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数在点可微分,则该函数在点的偏导数、必定存在,且函数在点的全微分为5、若函数的偏导数、在点连续,则函数在该点可微分6、连续,偏导数不一定存在,偏导数存在,不一定连续; 连续,不一定可微,但可微,一定连续; 可微,偏导数一定存在,偏导数存在, 不一定可微; 可微,偏导数不一定都连续;偏导数都连续, 一定可微7、多元复合函数的求导法则: (1)一元函数与多元函数符合的情形:若函数及都在点可导,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点可导,且有 (2)多元函数与多元函数复合的情形:若函数及都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数都存在,且; (3)其他情形:若函数在点具有对及对的偏导数,函数在点可导,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数都存在,且;8、隐函数求导公式:(1)函数:(2)函数:,9、空间曲线的切线与法平面:设空间曲线的参数方程为 为曲线上一点假定上式的三个函数都在上可导,且三个导数不同时为零则向量为曲线在点处的一个切向量,曲线在点处的切线方程为:,法平面方程为:如果空间曲线的方程以的形式给出,则在点处的切线方程为:,法平面方程为:如果空间曲线的方程以的形式给出,则在点处的切线方程为:法平面方程为:10、曲面的切平面与法线:设曲面方程为,为曲面上一点,则曲面在点处的切平面方程为:,法线方程为:11、方向导数:若函数在点可微,那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且,其中是方向的方向余弦12、梯度:称为函数在点的梯度,记作,即=13、设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则14、设函数在点的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数,又,令,则在点处是否取得极值的条件如下:(1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;(2)时没有极值;(3)时可能有极值,也有可能没有极值15、具有二阶连续偏导数的函数的极值求法: 第一步:解方程组,求得一切实数解,即可求得一切驻点; 第二步:对每一个驻点,求出二阶偏导数的值和; 第三步:定出的符号,按14的结论判定是不是极值,是极大值还是极小值 注:上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下,那么在考虑函数极值时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也要考虑16、拉格朗日乘数法:要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数,其中为参数.求其对及的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程联立起来:,由这方程组解出及,这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点第十章1、二重积分的性质 性质1:设为常数,则.性质2:如果闭区域被有限曲线分为有限个部分闭区域,则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.(二重积分对于积分区域具有可加性)性质3:如果在上,为的面积,则性质4:如果在上,则有:特殊地,由于则.性质5:设分别是在闭区域上的最大值和最小值,是的面积,则有.性质6(二重积分的中值定理):设函数在闭区域连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得.2、二重积分直角坐标的计算法: (1)若积分区域D可用不等式,(X型)来表示,其中、在区间上连续.则 (2)若积分区域D可用不等式,(Y型)来表示,其中、在区间上连续.则注:确定次序原则:(1) 函数原则:内层积分可以积出;(2) 区域原则;(3) 少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法:(极坐标系中的面积元素:)若积分区域D可用不等式,来表示,其中、在区间上连续.则:(详见P145,146)4、确定上下限原则: (1)每层下限小于上限; (2)内层一般是与外层积分变量的有关的函数,也可以是常数; (3)外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化: (1)若积分区域D关于对称,则:,其中 (2)若积分区域D关于对称,则:,其中6、直角坐标三重积分的计算: (1)先一后二:若,闭区域,则:(详见P158,159) (2)先二后一(截面法): S1:将向某轴投影,如轴,; S2:对,用平行于面的平面截,截出部分记为; S3:计算; S4:计算若空间区域,其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域,则:注:适用于被积函数只有一个变量或为常数7、柱面坐标三重积分的计算:;=常数,即以轴为轴的圆柱面;=常数,即过轴的半平面; =常数,即与面平行的平面柱面坐标系中的体积元素:,其中再化为三次积分计算,其中,为沿轴穿线穿过的两个平面方程(个人理解)8、球面坐标三重积分的计算:,球面坐标系中的体积元素:,其中,再化为三次积分计算,其中,为沿轴穿线穿过的两个平面方程(个人理解)典例:求由曲面与所围成立体体积(利用三种坐标系求解)解:表示球心在原点,半径为的球体,表示上半面圆锥体直角坐标:柱面坐标:球面坐标:十一章1、对弧长的曲线积分的计算法:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ,其中,在上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且 同理:空间曲线:2、对坐标的曲线积分的计算方法:设、在有向曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,当参数单调地由变到时,点从的起点沿运动到终点,在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且(下限对应于的起点,上限对应于的终点)同理:空间曲线:3、平面曲线上两类曲线积分的联系:,其中为有向曲线弧在点处的切向量方向角,同理:空间曲线上两类曲线积分的联系:4、格林公式:设闭区域D由分段光滑曲线围城,函数及在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中是D的取正向的边界曲线注:取,则,左端表示闭区D的面积A的两倍,因此,5、设D为单连通区域,函数及在D上具有一阶连续偏导数,则下列四个命题等价:(1)沿D内任一条光滑曲线有(2)对D内任一条分段光滑曲线曲线积分与路径无关(3)存在,使得(4)在D内没一点都有6、对面积的曲面积分的计算法:7、对坐标的区面积分的计算法:,等式右端符号取决于积分曲面上下侧,等式右端符号取决于积分曲面左右侧,等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系:,其中时有向曲面在点处的法向量的方向余弦9、高斯公式:设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围城的,函数、在上具有一阶连续偏导数,则有:10、斯托克斯公式:设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数、在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数,则有:- 14 -
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