微分方程典型例题 余杨 湖北大学数学与计算机科学学院 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 本章学习要求： n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程.熟练掌握 分离变量法和一阶线性方程的解法. n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. n知道下列高阶方程的降阶法： . )( )( xfy n = ),(yxfy= ),(yyfy= n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 微分方程的基本概念 常微分方程 方程的阶数 线性方程、非线性方程 方程的解、通解、特解、所有解 初始条件（定解条件） 积分曲线（解的几何意义） 初值问题、初值问题的解 齐次方程、非齐次方程 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 常微分方程的初等方法 介绍常微分方程的解法 分离变量法 常数变易法 积分因子法 变量代换法 降阶法 高阶线性常系数微分方程解法 特征值法 变量代换法 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn )()( d d ygxf x y = 变量可分离方程变量可分离方程 = x y f x y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0)( d d =+yxp x y 一阶线性齐方程一阶线性齐方程 )()( d d xqyxp x y =+ 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程 n yxqyxp x y )()( d d =+ 伯努利方程伯努利方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量分离变量分离变量分离变量分离 常数变易常数变易常数变易常数变易 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 解解 tan d d 的通解。的通解。求方程求方程 x y x y x y += d d d d ，则，则令令 x u xu x y x y u+= 于是，原方程化为于是，原方程化为 d tan d ， x x u u = 两边积分，得两边积分，得 d tan d ， = x x u u |ln |ln |sin|ln，Cxu+= 即即 sin，Cxu = sin 。故原方程的通解为故原方程的通解为Cx x y = xuuxyddd+= u x u x x y += d d d d x x x xsin cos cot tan 1 = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 = X Y X Y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 0 111 =+cybxa 0 222 =+cybxa ，=yx ，令令=yYxX d )( d X X ZZf Z = 变量分离方程变量分离方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 ZXY = ZXY = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0 21 时，时，= cc = + + = + + = x y x y ba x y ba f ybxa ybxa f x y 22 11 22 11 d d 2 1 2 1 时，时，k b b a a = + + = + + = 2 1 222 122 )( )( d d cu cku f cybxa cybxak f x y PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn )()( d d ygxf x y = 变量可分离方程变量可分离方程 = x y f x y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0)( d d =+yxp x y 一阶齐线性方程一阶齐线性方程 )()( d d xqyxp x y =+ 一阶非齐线性方程一阶非齐线性方程 n yxqyxp x y )()( d d =+ 伯努利方程伯努利方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量分离变量分离变量分离变量分离 常数变易常数变易常数变易常数变易 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 求解一阶微分方程要特别注意：求解一阶微分方程要特别注意： 1正确识别方程所属类型，以采用相应的方法正确识别方程所属类型，以采用相应的方法 2如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代 换，或考虑认定换，或考虑认定x为为y的函数，再判定方程的类型的函数，再判定方程的类型 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 问题与思考问题与思考 ( )() ( ) ( )() ( ) 2 2 1 2sinsin 22 31 lnln0 2 4tansin2cos 3cos yxy xyxy y xyx dxydy C yyxxyx x = + + = += = + 是二阶微分方程。 是可分离变量方程。 是齐次方程。 的通解为 问题问题1. 判断正误：判断正误： （1）否； （）否； （2）； （）； （3）是）是; (4)是是 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn ( )( )( ) 123 12 2., , y yy yp x yq x yf x C C += 问题 设线性无关函数都是二阶非齐次线性微分方程 的解。为任意常数，则该方程的通解是 () () () 112233 1122123 1122123 1122123 .; .; .1; .1 AC yC yC y BC yC yCCy CC yC yCCy DC yC yCCy + + + + 选择选择C PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 问题3. 以 12 , xx yeyxe= 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 20yyy+= 正确正确 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 解解 0d)823(d)732( 2222 的通解。的通解。求求=+yyyxxxyx d2d d2d 22 ，则，则，令令yyvxxuyvxu= 于是，原方程变为于是，原方程变为 732 823 d d ， + + = vu vu v u 联立方程组联立方程组 0823=+ vu 0732=+ vu 解之，得解之，得 1 2。，=vu 12 ，则有，则有，令令=vXuY 32 23 d d ， XY XY X Y + + = 可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的 可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn ddd ，于是得到，于是得到，则，则令令XZZXY X Y Z+= d2 d 1 32 2 ， X X Z Z Z = + 两边积分，得两边积分，得 |ln|ln2 | 1|ln 2 1 | 1|ln 2 5 ，CXZZ+=+ 即即 1 ) 1( 25 。C Z XZ = + 的通解为的通解为，代入上式，得原方程，代入上式，得原方程由由 1 2 1 2 2 2 = = y x v u X Y Z 3 ) 1( 22 522 。C yx yx = + PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 解解 1 d d 的通解。的通解。求方程求方程 xy xe x y e= + 变量代换变量代换 原方程即原方程即 1 d d 。 yx ex x y + =+ d d 1 d d ，则，则令令 x y x u yxu+=+=于是，原方程化为于是，原方程化为 d d ， u ex x u = 运用分离变量法，解得运用分离变量法，解得 2 1 2 ，Cxe u += 故原方程的通解为故原方程的通解为 0 2 1 2 。=+ Cex yx 不是讲过的类型不是讲过的类型 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 解解 0 )4()5( 的通解。求方程= yyx )4( ，则原方程化为，则原方程化为令令yp = 0 d d ，= p x p x 分离变量，得分离变量，得 dd ， x x p p = 积分，得积分，得 )4( ，Cxpy= 连续积分连续积分 4 次，得原方程的通解为次，得原方程的通解为 ) 120 ( 154 2 3 3 2 5 1 。， C CCxCxCxCxCy=+= 型型 )( )( xfy n = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 解解 0)( 。的通解的通解求方程求方程= yfy 什么类型？什么类型？什么类型？什么类型？ 2 ，得到，得到两边同乘以两边同乘以 y 0)(22，= yfyyy 即即 0) d)(2( d d 2 ，= yyfy x =yyfyd)()( x y y y x y d d d )(d d )(d = 从而从而 d)(2 1 2 ，Cyyfy= 即即 d)(2 1 。 +=yyfCy 运用分离变量法求解此方程