1,线性方程组,习题课,第三章,2,二、向量组线性关系的判定,三、求向量组的秩,一、高斯消元法,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典 型 例 题,3,2齐次线性方程组,1若 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 ，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方 程组有无穷多解,4,解,用高斯消元法解下列方程组：,全部解为,5,解,确定a,b的值使下列线性方程组有解并求解：,6,7,解,设,8,9,求下列向量组的一个极大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表出。,解,10,11,.,解,12,.,D,若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关.,13,证,用反证法.若,又已知,代入得,14,证,设,即,或,15,若s为奇数,则,方程组仅有零解,若s为偶数,则,方程组有非零解,16,证,等价,注意到,其中,17,所以该问题等价于,18,证,11,设,反之也对。,19,证,令,因系数行列式等于零，齐次方程组有非零解，,20,均为n维列向量,则,和,满足关系_,解:,由已知,其中,21,已知向量组,与向量组,具有相同的秩,且,可由,线性表示,求,的值,解:,22,得到:,得到,23,下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解的情况下，求出全部解（用导出组的基础解系表示）。,解,13,24,导出组的基础解系为,特解,全部解为,25,解,14,有惟一解,无解,有无穷多组解? 并求出有无穷多组解时的通解.,26,解,方程组有惟一解；,方程组无解；,27,方程组有无穷多组解,全部解为,28,解,15 对下列线性方程组 , 讨论入取何值时,方程组无解、有唯一解和有无穷多解；在方程组有无穷多解时,用其导出组的基础解系表示全部解。,系数行列式,29,无解;,无穷多解,30,无穷多解,导出组的基础解系为,特解,全部解为,31,16.,D,解,32,17.,C,解,33,解: 有题意得到方程的基础解系的向量个数为n,所以,所以,18,34,35,设,是4阶方阵, 且,则齐次线性方程组,的基础解系所包含的向量个数为_.,解:,由上面的公式得到,所以,解系为 4-1 =3,36,设,为n阶方阵,齐次线性方程组有两个线性无关的解,是,的伴随阵, 则,的解都是,的解,解:,由条件得到,所以,所以,37,解:,由,所以,又因为非齐次方程组有4个不等的解,所以对应的齐次方,程必有非零解,所以,即,基础解系个数为1,19,38,解:,注意到,所以,这表明基础解系的个数是不,大于1.,所以通解为,20,39,解,21,(1) 齐次线性方程组有非零解,所以系数行列式为零,40,(2),与已知条件矛盾,41,解,22,即为对应齐次方程组的基础解系,k是任意常数.,42,三个特解,并满足:,(1)求此方程组的通解(2)求满足上述条件的一个非齐次方程组,解:,(1)齐次的基础解系向量为3-1=2个,非齐次方程组三 个特解为,所以,齐次的基础解系为,非齐次的通解为,23.,43,所以,所以,得到方程组为,