正余弦函数的性质,奇偶性,单调性,学习目标: 1.理解正、余弦函数的奇偶性、 单调性的意义； 2.会求简单函数的奇偶性、 单调性; 重点:正、余弦函数的性质 难点:正、余弦函数的性质,复习:正弦、余弦函数的图象和性质,y=sinx (xR),y=cosx (xR),定义域,值 域,xR,y - 1, 1 ,一、函数的奇偶性,y=sinx (xR) 设(x,y)是正弦曲线y=sinx(xR)上任意一点，即(x,sinx)是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)。由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个对称点就是(-x,sin(-x)。它显然也在正弦曲线上， 所以正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。,奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。 奇函数的图象关于原点对称。,y=cosx (xR) 设(x,y)是余弦曲线y=cosx(xR)上任意一点，即(x,cosx)是余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就是(-x,cos(-x)。它显然也在余弦曲线上， 所以余弦曲线关于y轴对称，余弦函数是偶函数。,偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 偶函数的图象关于y轴对称。,sin(-x)= - sinx (xR),y=sinx (xR),是奇函数,cos(-x)= cosx (xR),y=cosx (xR),是偶函数,定义域关于原点对称,正弦、余弦函数的奇偶性,例1：判断函数奇偶性,(1) y=-sin3x xR (2) y=|sinx|+|cosx| xR (3) y=1+sinx xR,解:(1)f(-x)=-sin3(-x)=-(-sin3x)=-f(x), 且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。,(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x) 且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。,(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) 所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。,二、正弦函数的单调性,y=sinx (xR),增区间为 ， 其值从-1增至1, 0 ,-1,0,1,0,-1,减区间为 ， 其值从 1减至-1, +2k, +2k,kZ, +2k, +2k,kZ,余弦函数的单调性,y=cosx (xR),- 0 ,-1,0,1,0,-1,例2.求下列函数的单调区间：,y=3sin(2x- ),单调增区间为,所以：,解：,单调减区间为,kZ,kZ,kZ,kZ,kZ,kZ,例3 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin( ) sin( ),(2) cos( ) - cos( ),解：,又 y=sinx 在 上是增函数,解：,又 y=cosx 在 上是减函数,cos( )=cos =cos,cos( )=cos =cos,从而,cos( ) - cos( ) 0,练习:,小 结：,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,奇偶性,单调性（单调区间）,奇函数,偶函数, +2k, +2k,kZ,单调递增, +2k, +2k,kZ,单调递减,函数,求函数的单调区间：,1. 直接利用相关性质,2. 复合函数的单调性,3. 利用图象寻找单调区间,