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- 1 - 上海市上海市 2019 年年 1 月春季高考数学试题月春季高考数学试题 一一. .填空题(本大题共填空题(本大题共 1212 题,满分题,满分 5454 分,第分,第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分,第分,第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分)分) 1.已知集合,则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义,直接求解即可. 【详解】, 本题正确结果: 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算,属于基础题. 2.计算_ 【答案】2 【解析】 【分析】 将原式转化为,从而得到极限值为 . 【详解】 本题正确结果: 【点睛】本题考查极限运算,属于基础题. 3.不等式的解集为_ 【答案】 【解析】 【分析】 将不等式变为,解不等式得到结果. - 2 - 【详解】 本题正确结果: 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解,属于基础题. 4.函数的反函数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求解出原函数的值域,得到反函数的定义域,再求解出反函数的解析式,得到结果. 【详解】当时,即 又 反函数为:, 【点睛】本题考查反函数的求解,易错点为忽略反函数的定义域. 5.设 为虚数单位,则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式变形得 ,再由,结合复数模的计算公式求解即可 【详解】由,得,即 本题正确结果: 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题 6.已知,当方程有无穷多解时, 的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知两方程完全相同,通过系数化简得到方程组,求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解 两方程相同 又 - 3 - 本题正确结果: 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题,属于基础题. 7.在的二项展开式中,常数项的值为_ 【答案】15 【解析】 【分析】 写出二项展开式通项,通过得到,从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为: 当时, 常数项为: 本题正确结果: 【点睛】本题考查二项式定理的应用,属于基础题. 8.在中,且,则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理求出,再利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理可知:,又 由余弦定理可知: 本题正确结果: 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题,属于基础题. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动,其中甲连续参加 2 天, - 4 - 其他人各参加 1 天,则不同的安排方法有_种(结果用数值表示) 【答案】24 【解析】 【分析】 首先安排甲,可知连续 天的情况共有 种,其余的人全排列,相乘得到结果. 【详解】在 天里,连续 天的情况,一共有 种 剩下的 人全排列: 故一共有:种 【点睛】本题考查基础的排列组合问题,解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素,要优先考虑,然后 再考虑普通元素. 10.如图,已知正方形,其中,函数交于点 ,函数交于点 ,当 最小时,则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 通过函数解析式得到两点坐标,从而表示出,利用基本不等式得到最值,从而得到取最值时的 条件,求解得到结果. 【详解】依题意得:, 则 当且仅当即时取等号,故 本题正确结果: 【点睛】本题考查基本不等式的应用,关键在于能够通过坐标构造出关于 的基本不等式的形式,从而利用 - 5 - 取等条件得到结果. 11.在椭圆上任意一点 , 与 关于 轴对称,若有,则与的夹角范围为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 通过坐标表示和得到;利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为: ;利用的范围得到的范围,从而得到角的范围. 【详解】由题意:, 设,因为,则 与结合 ,又 与结合,消去 ,可得: 所以 本题正确结果: 【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用,关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围,将 问题转化为函数值域的求解. 12.已知集合,存在正数 ,使得对任意,都有,则 的值是 _ 【答案】1 或 【解析】 【分析】 根据 所处的不同范围,得到和时, 所处的范围;再利用集合 的上下限,得到 与 的等量关系,从而构造出方程,求得 的值. - 6 - 【详解】,则只需考虑下列三种情况: 当时, 又 且 可得: 当即时,与构造方程相同,即,不合题意,舍去 当即时 可得:且 综上所述:或 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题,关键在于能够通过 的不同取值范围,得到 与 所处的范围,从而能够利用集合的上下限得到关于 的等量关系,从而构造出关于 的方程;难点在于能 够准确地对 的范围进行分类,对于学生的分析和归纳能力有较高的要求,属于难题. 二二. .选择题(本大题共选择题(本大题共 4 4 题,每题题,每题 5 5 分,共分,共 2020 分)分) 13.下列函数中,值域为的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依次判断各个函数的值域,从而得到结果. 【详解】 选项:值域为,错误 选项:值域为,正确 选项:值域为 ,错误 - 7 - 选项:值域为,错误 本题正确选项: 【点睛】本题考查初等函数的值域问题,属于基础题. 14.已知,则“”是“”的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 通过函数的图象可知,函数值与自变量距对称轴距离成正比,由此可判断为充要条件. 【详解】设,可知函数对称轴为 由函数对称性可知,自变量离对称轴越远,函数值越大;反之亦成立 由此可知:当,即时, 当时,可得,即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项: 【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题,属于基础题. 15.已知平面两两垂直,直线满足:,则直线不可能满足以下哪种关 系( ) A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面 【答案】B 【解析】 【分析】 通过假设,可得平行于的交线,由此可得 与交线相交或异面,由此不可能存在,可得正 确结果. 【详解】设,且 与均不重合 假设:,由可得:, 又,可知, 又,可得: 因为两两互相垂直,可知 与 相交,即 与 相交或异面 若 与 或 重合,同理可得 与 相交或异面 - 8 - 可知假设错误,由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项: 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系,关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两 条线之间的位置关系,从而得到正确结果. 16.以为圆心的两圆均过,与 轴正半轴分别交于,且满足,则点 的轨迹是( ) A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆心和圆上点建立关于半径的方程,得到和;根据整理出 ,从而得到点的轨迹. 【详解】因为 同理: 又因为,所以 则,即 设,则为直线 本题正确选项: 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题,关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系,从而 转化为轨迹方程. 三三. .解答题(本大题共解答题(本大题共 5 5 题,共题,共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分)分) 17.如图,在正三棱锥中, (1)若的中点为,的中点为 ,求与的夹角; (2)求的体积. - 9 - 【答案】 (1);(2) 【解析】 【分析】 (1)由中位线可知,从而所求夹角即为,根据余弦定理,可求得余弦值,从而得到的大 小;(2)根据正三棱锥的性质,可求得几何体的高,再根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】 (1)分别为中点,可知: 与夹角即为与夹角 在中,由余弦定理可得: 即与的夹角为 (2)作面,连接,如下图所示: 三棱锥为正三棱锥 为的中心且落在上 【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够 通过平行关系将直线进行平移,转化为相交直线所成角的问题. 18.已知数列,前 项和为. - 10 - (1)若为等差数列,且,求; (2)若为等比数列,且,求公比 的取值范围. 【答案】 (1);(2); 【解析】 【分析】 (1)通过,求解出 ,通过求和公式得到;(2)根据可得且,从而得到不 等式,解不等式得到结果. 【详解】 (1)由且 (2)由题意可知 则 且 或 又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的范围 的关键在于能够明确存在极限的前提,然后通过公式得到关于 的不等式,求解不等式得到结果. 19.已知抛物线方程为焦点, 为抛物线准线上一点, 为线段与抛物线的交点,定义: . (1)当时,求; (2)证明:存在常数 ,使得; (3)为抛物线准线上三点,且,判断与的关系. 【答案】 (1) ;(2)2;(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)求解出 点坐标,然后得到和,从而求得;(2)通过假设 点坐标得到直线方程,与抛 - 11 - 物线联立后得到,代入,整理得到结果;(3)由可知为中点,假设三点坐 标,代入,将式子整理为和的形式,然后通过平方运算可得到 ,从而得到结论:. 【详解】由题意可知:,准线方程为: (1)因为 联立方程 则 (2)当时,易得 设,直线,则 联立, 由对称性可知亦成立 综上所述,存在,使得 (3)由可知为中点 - 12 - 设,则 因为 又因 所以 【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够 明确问题的本题,其本质为三角形中的三边关系问题:为的中线,则由三角形两边之和大于第三边, 可知;明确本质之后即明确了证明方向,对于学生的转化与化归能力要求较高. 20.已知等差数列的公差,数列满足,集合. (1)若,求集合 ; (2)若,求 使得集合 恰好有两个元素; (3)若集合 恰好有三个元素:, 是不超过 7 的正整数,求 的所有可能的值. 【答案】 (1);(2)或;(3) 【解析】 【分析】 (1)根据正弦函数周期性的特点,可知数列周期为 ,从而得到 ;(2) 恰好有两个元素,可知 或者,求解得到 的取值;(3)依次讨论的情况,当时,均可得到符合 题意的集合 ;当时,对于,均无法得到符合题意的集合 ,从而通过讨论可知. 【详解】 (1), , , 由周期性可知,以 为周期进行循环 (2), 恰好有两个元素 - 13 - 或 即或 或 (3)由 恰好有 个元素可知: 当时,集合,符合题意; 当时, 或 因为为公差的等差数列,故 又,故 当时,如图取,符合条件 当时, 或 因为为公差的等差数列,故 又,故 当时,如图取,符合条件 当时, 或 因为为公差的等差数列,故 - 14 - 又,故 当时,如图取时,符合条件 当时, 或 因为为公差的等差数列,故 又,故 当时,因为对应 个正弦值,故必有一个正弦值对应三个点,必然有,即 ,即,,不符合条件; 当时,因为对应 个正弦值,故必有一个正弦值对应三个点,必然有,即 ,即,不是整数,故不符合条件; 当时,因为对应 个正弦值,故必有一个正弦值对应三个点,必然有或 若,即,不是整数, 若,即,不是整数, 故不符合条件; 综上: 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期,确定等量关系, 从而得到 的取值,再根据集合 的元素个数,讨论可能的取值情况,通过特殊值确定满足条件的 ;对于无 - 15 - 法取得特殊值的情况,找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高,属于难题. - 16 -
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