第一节 定积分的概念与性质,一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质,引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.,问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.,求曲边梯形的面积A的具体做法：,(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形.,记每一个小区间 的长度为,把区间a,b分成n个小区间,我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题.,以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.,定义,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分，即,质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即,定积分的存在定理,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：,如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,性质1,设函数f(x)，g(x)在a,b上可积,两个函数代数和的定积分等于它们定 积分的代数和，即,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,利用定积分的几何意义，可分别求出,例1,解,性质4,性质5,特别的,性质6 (定积分估值定理),证明,例2,解,性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.,性质7的几何意义：,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.,如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .,