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第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1(2011济南模拟)已知数列an是首项为a14的等比数列,且4a1,a5,2a3成等差数列,则其公比q等于()A1B1C1或1 D.解析:依题意有2a54a12a3,即2a1q44a12a1q2,整理得q4q220,解得q21(q22舍去),所以q1或1.答案:C2等差数列an的前n项和为Sn,且S210,S436,则过点P(n,an)和Q(n2,an2)(nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A(,2) B(1,1)C(,1) D(2,)解析:设数列an的公差为d,则有,解得d4,于是直线PQ的斜率kd4,故直线的一个方向向量的坐标可以是(,2)答案:A3(2011福州模拟)等差数列中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则该数列前13项的和是()A156 B52C26 D13解析:a3a52a4,a7a10a133a10,6(a4a10)24,a4a104,S1326.答案:C4已知数列an,bn满足a11,且an,an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点,则b10等于()A24 B32C48 D64解析:依题意有anan12n,所以an1an22n1,两式相除得2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列,而a11,a22,所以a1022432,a1112532,又因为anan1bn,所以b10a10a1164.答案:D5已知数列an的通项为an,则数列an的最大项为()A第7项 B第8项C第7项或第8项 D不存在解析:由于an,而函数f(x)x在(0,)上递减,在(,)上递增,且f(7)7,f(8)8,所以f(8)a7,从而数列an的最大项为第8项答案:B6气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(nN*),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了()A600天 B800天C1000天 D1200天解析:由第n天的维修保养费为元(nN*),可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为,当且仅当时取得最小值,此时n800.答案:B二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7已知等差数列an的公差d0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是_解析:由题知aa1a17,即a(a54d)(a512d),8a5d48d20,d0,a56d,公比q3.答案:38设Sn为数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”,若数列cn是首项为2,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“和等比数列”,则d_.解析:由题意可知,数列cn的前n项和为Sn,前2n项和为S2n,所以22,所以当d4时,为非零常数答案:49正整数按下列方法分组:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:03,13,13,23,23,33,33,43,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则AnBn_.解析:由题意知,前n组共有135(2n1)n2个数,所以第n1组的最后一个数为(n1)2,第n组的第一个数为(n1)21,第n组共有2n1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1),而Bnn3(n1)3,所以AnBn2n3.答案:2n3三、解答题10某市投资甲、乙两个工厂,2008年两工厂的年产量均为100万吨在今后的若干年内,甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨,乙工厂第n年比上一年增加2n1万吨,记2008年为第一年,甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an,bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年底其中一个工厂被另一工厂兼并解:(1)由题意可知数列an是等差数列,a1100,公差d10,所以an10n90,因为bnbn12n1,bn1bn22n2,b2b12,所以bn1002222n12n98(n2),b1也满足上式,所以bn2n98.(2)当n5时, anbn且an2bn,当n6时,anbn,所以甲工厂有可能被乙工厂兼并,2anbn,即2(10n90)0,得n9,所以,当n9,nN*时,Sn(c1)(c2)(cn)n;当n9,nN*时,SnS9c10cn36(n9).(3)由(1)得:anan1n10(nN*,n1),所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n10)(n11)(8)8(n1)8(n219n)17(n)2.所以当n9或n10时,an的值最小,即第9项和第10项为数列an的最小项,最小项的值为28.12已知函数f(x)lnxx2ax.(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)设an1(nN*),求证:3(a1a2an)aaa0),则f(x)2xa(x0)因为函数f(x)在(0,)上是增函数,所以f(x)0在(0,)上恒成立,即2xa0在(0,)上恒成立所以2xa.因为当x0时,2x2.当且仅当2x,即x时等号成立所以a2.故实数a的取值范围是(,2(2)证明:令a3,则f(x)lnxx23x.f(x)2x3.当x1时,f(x)0,所以f(x)在(1,)上是增函数所以f(1)f(1)2.所以ln(1)(1)23(1)2.所以3(1)(1)22ln(1)即3ana2ln(1)所以3a1a2ln(11),3a2a2ln(1),3a3a2ln(1),3ana2ln(1),将以上各式左右两边分别相加,得3(a1a2an)aaa(2ln)(2ln)(2ln)2nln(n1)故所证不等式成立
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