第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1(2011济南模拟)已知数列an是首项为a14的等比数列，且4a1，a5，2a3成等差数列，则其公比q等于()A1B1C1或1 D.解析：依题意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21(q22舍去)，所以q1或1.答案：C2等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S436，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A(，2) B(1，1)C(，1) D(2，)解析：设数列an的公差为d，则有，解得d4，于是直线PQ的斜率kd4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(，2)答案：A3(2011福州模拟)等差数列中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项的和是()A156 B52C26 D13解析：a3a52a4，a7a10a133a10，6(a4a10)24，a4a104，S1326.答案：C4已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.答案：D5已知数列an的通项为an，则数列an的最大项为()A第7项 B第8项C第7项或第8项 D不存在解析：由于an，而函数f(x)x在(0，)上递减，在(，)上递增，且f(7)7，f(8)8，所以f(8)a7，从而数列an的最大项为第8项答案：B6气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了()A600天 B800天C1000天 D1200天解析：由第n天的维修保养费为元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为，当且仅当时取得最小值，此时n800.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是_解析：由题知aa1a17，即a(a54d)(a512d)，8a5d48d20，d0，a56d，公比q3.答案：38设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_.解析：由题意可知，数列cn的前n项和为Sn，前2n项和为S2n，所以22，所以当d4时，为非零常数答案：49正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn_.解析：由题意知，前n组共有135(2n1)n2个数，所以第n1组的最后一个数为(n1)2，第n组的第一个数为(n1)21，第n组共有2n1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1)，而Bnn3(n1)3，所以AnBn2n3.答案：2n3三、解答题10某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的年产量均为100万吨在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n1万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an，bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂被另一工厂兼并解：(1)由题意可知数列an是等差数列，a1100，公差d10，所以an10n90，因为bnbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以bn1002222n12n98(n2)，b1也满足上式，所以bn2n98.(2)当n5时， anbn且an2bn，当n6时，anbn，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并，2anbn，即2(10n90)0，得n9，所以，当n9，nN*时，Sn(c1)(c2)(cn)n；当n9，nN*时，SnS9c10cn36(n9).(3)由(1)得：anan1n10(nN*，n1)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n10)(n11)(8)8(n1)8(n219n)17(n)2.所以当n9或n10时，an的值最小，即第9项和第10项为数列an的最小项，最小项的值为28.12已知函数f(x)lnxx2ax.(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；(2)设an1(nN*)，求证：3(a1a2an)aaa0)，则f(x)2xa(x0)因为函数f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)0在(0，)上恒成立，即2xa0在(0，)上恒成立所以2xa.因为当x0时，2x2.当且仅当2x，即x时等号成立所以a2.故实数a的取值范围是(，2(2)证明：令a3，则f(x)lnxx23x.f(x)2x3.当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数所以f(1)f(1)2.所以ln(1)(1)23(1)2.所以3(1)(1)22ln(1)即3ana2ln(1)所以3a1a2ln(11)，3a2a2ln(1)，3a3a2ln(1)，3ana2ln(1)，将以上各式左右两边分别相加，得3(a1a2an)aaa(2ln)(2ln)(2ln)2nln(n1)故所证不等式成立