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备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值,并会解决与之有关的不等式问题2.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.利用极值或最值求解参数的取值范围,如2012年浙江T22等2.利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个数等,如2012年福建T20等3.利用导数证明不等式,解决有关不等式问题,如2012年天津T20等.归纳知识整合1生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大,用料最省、效率最高等一些实际问题,这些问题通常称为优化问题2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤探究1.求实际问题中的最大、最小值,与求一般函数的最值有什么区别?提示:在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义另外,在求实际问题的最值时,如果区间内只有一个极值点,就是最值点2如何求实际问题中的最值问题?提示:有关函数最大值、最小值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在区间内只有一个极值点,那么不与区间端点比较,就可以知道这个极值点就是最大(小)值点自测牛刀小试1(教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析:选Cyx381x234,yx281,令y0,则x9.2(教材习题改编)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析:选C设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0x5),y12x2104x160.令y0,得x2或(舍去),ymax6122144 (cm3)3(教材习题改编)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径为_时,每瓶饮料的利润最大,瓶子半径为_时,每瓶饮料的利润最小解析:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是yf(r)0.2r30.8r20.8,0r6.令f(r)0.8(r22r)0,则r2.当r(0,2)时,f(r)0.则f(r)的最大值为f(6),最小值为f(2)答案:624函数f(x)ax3x恰有三个单调区间,则a的取值范围是_解析:f(x)ax3x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f(x)0有两个不等实根f(x)ax3x,f(x)3ax21.要使f(x)0有两个不等实根,则a0.答案:(,0)利用导数研究函数的零点或方程的根例1(2012福建高考)已知函数f(x)exax2ex,aR.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线yf(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.自主解答(1)由于f(x)ex2axe,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率k2a0,所以a0,即f(x)exex.此时f(x)exe,由f(x)0得x1.当x(,1)时,有f(x)0;当x(1,)时,有f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(,1),单调递增区间为(1,)(2)设点P(x0,f(x0),曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0),令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0),故曲线yf(x)在点P处的切线与曲线yf(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点因为g(x0)0,且g(x)f(x)f(x0)exex02a(xx0)若a0,当xx0时,g(x)0,则xx0时,g(x)g(x0)0;当xx0时,g(x)0,则xx0时,g(x)g(x0)0.故g(x)只有唯一零点xx0.由P的任意性知,a0不合题意若a0,令h(x)exex02a(xx0),则h(x0)0,h(x)ex2a.令h(x)0,得xln(2a),记x*ln(2a),则当x(,x*)时,h(x)0,从而h(x)在(,x*)内单调递减;当x(x*,)时,h(x)0,从而h(x)在(x*,)内单调递增a若x0x*,由x(,x*)时,g(x)h(x)h(x*)0;由x(x*,)时,g(x)h(x)h(x*)0.所以g(x)在R上单调递增所以函数g(x)在R上有且只有一个零点xx*.b若x0x*,由于h(x)在(x*,)内单调递增,且h(x0)0,则当x(x*,x0)时,有g(x)h(x)h(x0)0,g(x)g(x0)0;任取x1(x*,x0)有g(x1)0.又当x(,x1)时,易知g(x)exax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ex1ax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ax2bxc,其中b(ef(x0),cex1f(x0)x0f(x0)由于a0,则必存在x2x1,使得axbx2c0.所以g(x2)0,故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点c若x0,可证函数g(x)在R上至少有两个零点综上所述,当a0时,曲线yf(x)上存在唯一点P(ln(2a),f(ln(2a),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现1设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时,求f(x)的最大值;(2)令F(x)f(x)ax2bx(0x3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a0,b1时,方程2mf(x)x2有唯一实数解,求正数m的值解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,),当ab时,f(x)ln xx2x,f(x)x,令f(x)0,解得x1(x2舍去)当0x0,此时f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,x0,所以x10(舍去),x2.当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)在(x2,)上单调递增;当xx2时,g(x2)0,g(x)取最小值g(x2)因为2mf(x)x2有唯一实数解,则即所以2mln x2mx2m0.又因为m0,所以2ln x2x210.(*)设函数h(x)2ln xx1,当x0时,h(x)是增函数,所以h(x)0至多有一解因为h(1)0,所以方程(*)的解为x21,即1,解得m.利用导数解决恒成立及参数求解问题例2已知函数f(x)exax,其中a0.(1)若对一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0(x1,x2),使f(x0)k成立自主解答(1)f(x)exa,令f(x)0得xln a.当xln a时,f(x)ln a时,f(x)0,f(x)单调递增,故当xln a时,f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是对一切xR,f(x)1恒成立,当且仅当aaln a1.令g(t)ttln t,则g(t)ln t.当0t0,g(t)单调递增;当t1时,g(t)0,g(t)单调递减故当t1时,g(t)取最大值g(1)1.因此,当且仅当a1时,式成立综上所述,a的取值集合为1(2)由题意知,ka,令(x)f(x)kex,则(x1)e x2x1(x2x1)1,(x2)e x1x2(x1x2)1令F(t)ett1,则F(t)et1.当t0时,F(t)0时,F(t)0,F(t)单调递增故当t0时,F(t)F(0)0,即ett10.从而ex2x1(x2x1)10,ex1x2(x1x2)10,又0,0,所以(x1)0.因为函数y(x)在区间x1,x2上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在x0(x1,x2),使(x0)0,即f(x0)k成立若将函数“f(x)exax,a0”改为“f(x)eaxx,a0”,试解决问题(1)解:若a0,f(x)eaxx0.而f(x)aeax1,令f(x)0得xln . 当xln 时,f(x)ln 时,f(x)0,f(x)单调递增故当xln 时,f(x)取最小值fln .于是对一切xR,f(x)1恒成立,当且仅当ln 1.令g(t)ttln t,则g(t)ln t.当0t0,g(t)单调递增;当t1时,g(t)0,g(t)单调递减故当t1时,g(t)取最大值g(1)1.因此,当且仅当1,即a1时,式成立综上所述,a的取值集合为
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