5.4 简单的三角恒等变换及其应用随堂演练巩固1.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0x,则f(x)的最大值、最小值分别为_.【答案】2,1【解析】f(x)=(1+)cosx=cosx+sinx=2sin(x+),因为0x,所以x+.所以,当x+=时,f(x)取得最大值2,当x+=时,f(x)取得最小值为1.2.已知=1,则sin2=_.【答案】1【解析】由=1,得sin+cos=,所以(sin+cos)2=2,即1+2sincos=2,所以sin2=1.3.若=3,tan()=2,则tan(2)=_.【答案】【解析】由3=,得tan=2.又tan()=2,所以tan(2)=tan(2)=tan+()=.4.已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,sinx)(0x),且ab=,则tanx的值为.【答案】【解析】a=(cosx,sinx),b=(cosx,sinx),ab=,cos2x= (0x).sin2x=,即tanx=.课后作业夯基1.已知(,),sin=,则tan2=.【答案】-【解析】由(,),sin=得cos=-,故tan=-.tan2=-.2.函数f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)是函数(填“奇”或“偶”).【答案】 奇【解析】f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos (-2x)=sin2x,f(x)是周期为的奇函数.3.已知f(x)=,则当(,)时,化简f(sin2)f(sin2)得_.【答案】2cos【解析】由(,),得sincos0,所以f(sin2)f(sin2)=cossin+sin+cos=2cos.4.若sinx=sin(60x),则tanx=_.【答案】【解析】因为sinx=cosxsinx,所以sinx=cosx.故tanx=.5. =_.【答案】2【解析】原式=2.6.已知= (x),则sinxcosx=_.【答案】【解析】由=,得2sinxcosx=.又由xcosx,所以sinxcosx=.7.已知3sin2+2sin22sin=0,则cos2+cos2的取值范围为_.【答案】,2【解析】3sin2+2sin22sin=0,sin2=sinsin2.由sin20,得0sin,又cos2+cos2=2sin2sin2=2sin2sin+sin2=sin2sin+2= (sin1)2+,所以当sin=0时,cos2+cos2取得最大值2,当sin=时,cos2+cos2取得最小值.8.在ABC中,如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3,则C=_.【答案】【解析】由4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3,两式平方相加,得16+4+16sin(A+B)=28,所以sinC=,即C=或.若C=,则A+B=.所以0B.所以2sinB+4cosA5,矛盾,所以C.故C=.9.函数f(x)=cos()+sin()，xR.(1)求f(x)的周期；(2)若f()=，(0,),求tan(+)的值.【解】(1)f(x)=cos()+sin()=sin+cos=sin(+)，f(x)的周期T=4.(2)由f()=，得sin，1+sin=.sin=.又(0,),cos=.tan=.tan(+)=7.10.已知,是公比为2的等比数列(0,2)，且sin,sin,sin也成等比数列，求,的值.【解】，是公比为2的等比数列，=2，=4.sin,sin,sin成等比数列，,即.故cos=cos2,2cos2cos1=0,解得cos=1或cos=.当cos=1时，sin=0，与等比数列首项不为零矛盾，故舍去.当cos=时，0,2,=或.=,=,=或=,=,=11.(1)已知k(kZ),求证：tan=;(2)已知sin=,求tan()的值.【解】(1)=tan (k,kZ).(2)由sin=，得cos=.当sin=，cos=时，tan=，tan()=.当sin=,cos=时，tan=2.tan()=.故tan()=.12.(2011北京西城期末,15)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x.(1)若点P(1,-)在角的终边上,求f()的值;(2)若x-,求f(x)的值域.【解】 (1)因为点P(1,-)在角的终边上,所以sin=-,cos=.所以f()=sin2-2sin2=2sincos-2sin2=2(-)-2(-)2=-3.(2)f(x)=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=2sin(2x+)-1,因为x-,所以-2x+.所以-sin(2x+)1.所以f(x)的值域是-2,1.