本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1利用斜二测画法得到的三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( )AB CD 【答案】B2如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量，设，则x、y、z的值分别是( )A x，y，zB x，y，zC x，y，zD x，y，z【答案】D3在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为( )AB CD【答案】A4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E、F分别为棱DD1、BB1上的动点，且BF=D1E，设EF与AB所成角为，EF与BC所成的角为，则的最小值为( )ABCD无法确定【答案】C5若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )A 27+12B 9+12C 27+3D 54+3【答案】C6有下列命题：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；有两个面平行, 其 余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。其中正确的命题的个数为( )ABCD【答案】B7下列说法正确的是( )A圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C8如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为( )A 61cmBcmCcmD10cm【答案】A9如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为( )A 6+B 24+C 24+2D 32【答案】C10过AB所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA、PB、PC且PA、PB、PC两两垂直，则点O是ABC的( )A内心B外心C垂心D 垂心【答案】C11已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积为( )ABCD【答案】D12一个组合体的三视图如下，则其体积为( )A12B16C20D28【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13点到的距离相等，则的值为.【答案】114如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有_个直角三角形【答案】415把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是.【答案】516在正三棱锥中，过A作三棱锥的截面,则截面三角形的 周长的最小值为.【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB/DC，DC=DD1=2AD=2AB=2(）求证：平面B1BCC1；(）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E/平面A1BD， 并说明理由【答案】（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，故，即又，平面，(II）证明：DC的中点即为E点，连D1E,BE四边形ABED是平行四边形，ADBE,又ADA1D1 A1D1 四边形A1D1EB是平行四边形 D1E/A1B ,D1E平面A1BD D1E/平面A1BD.18如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。 (I）求证：AF/平面BCE； (II）求证：平面BCE平面CDE； (III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【答案】（I）取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且FP= 又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP， ABPF为平行四边形，AF/BP。又AF平面BCE，BP平面BCE， AF/平面BCE。 (II）ACD为正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE。又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 (III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45。19如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱.(1）求证：平面；(2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】 (1）证明：四棱柱中，又面，所以平面，是正方形，所以，又面，所以平面，所以平面平面，所以平面. (2）解：是正方形，因为平面，所以， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，在中，由已知可得，所以，因为平面，所以平面，又，所以平面， 所以平面的一个法向量为，设与所成的角为，又则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。 (1）求证：B1C/平面A1BD； (2）求证：平面A1BD平面ACC1A1； (3）求二面角AA1BD的余弦值。【答案】 (1)证明：连交于点，连.则是的中点，是的中点，平面，平面，平面. (2) (3)法一：设,且，作，连平面平面，平面，就是二面角的平面角，在中，在中，即二面角的余弦值是.解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.21如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心求证：PQ平面BCC1B1.【答案】证法一：如图取B1B中点E，BC中点F，连接PE、QF、EF，A1B1B中，P、E分别是A1B、B1B的中点，PE綊A1B1.同理QF綊AB.又A1B1綊AB，PE綊QF.四边形PEFQ是平行四边形PQEF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1.证法二：如图，连接AB1，B1C，AB1C中，P、Q分别是A1B、AC的中点，PQB1C.又PQ平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1.22如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 【答案】 (I) 因为为中点，所以又，所以有所以为平行四边形,所以又平面平面所以平面 . (II)连接.因为所以为平行四边形， 又,所以为菱形，所以 ， 因为正三角形,为中点，所以 ， 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 而平面，所以 ，又，所以平面. 又平面，所以 .