返回目录,下一页,上一页,第四章 运动学,第一节 点的运动 第二节 刚体的基本运动 小 结,下一页,上一页,运动学的任务是研究物体在空间的位置随时间的变化规律，而不涉及运动状态发生变化的原因。 物体在空间的位置必须相对于某给定的物体来确定。这个给定的物体称为参考体。固连在参考体上的坐标系称为参考系。在不同的参考系上观察同一物体的运动，其结果可以完全不同，所以运动具有相对性。在研究大多数的工程实际问题时，总是将固连于地球上的坐标系作为参考系，称为静参考系或定参考系。,返回首页,下一页,上一页,在描述物体在空间的位置和运动时，常用到瞬时和时间间隔两个概念。瞬时是指物体运动经过某一位置所对应的时刻，用t表示；时间间隔是两瞬时之间的一段时间，记为tt2-t1。 学习运动学的目的，一方面是为后继课程打基础；另一方面，运动学在工程技术中也有独立的应用。例如，设计或改装机器，总是要求它实现某种运动，以满足生产的需要。为此，必须对物体进行运动分析和综合。 本章将围绕研究运动学的二种主要方法即分析法与几何法以最基本的形式来进行论述。,返回首页,第一节 点的运动,下一页,上一页,一、用失径法确定点的位置、速度和加速度,返回目录,返回首页,2、点的速度,3、点的加速度,单位 : m/s2,1、运动方程,即：点的速度等于矢径对时间的一阶导数,即：点的加速度等于点的速度矢对时间的一阶导数，也等于位置矢径对时间的二阶导数,当点的运动轨迹未知时，常利用直角坐标投影原理将矢量关系转变成代数量关系来方便运算。,二、用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度,1动点的直角坐标形式的运动方程 设有一动点M在某曲线轨迹上运动，它在坐标轴x、y上两相应的投影点A、B亦在各自坐标轴上作直线运动，显而易见点A、B位置的x、y一旦确定动点的位置也就确定，故点的运动方程为,（4-11）,返回,下一页,上一页,返回首页,2点的速度与加速度在直角坐标轴上的投影根据式（4-2）存在,将上式向x、y轴投影可得,v=vxi+vy j （4-13）,以上证明说明了动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应坐标对时间的一阶导数 。,（4-2）,（4-12）,返回,下一页,上一页,返回首页,故动点速度v的大小和方向为,（4-15）,返回,下一页,上一页,返回首页,同理，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相对的速度对时间的一阶导数，或等于其相应的坐标对时间的二阶导数，故动点的加速度a的大小和方向为,式（4-15）中为a与轴x所夹之锐角，a的指向由ax、ay的正负号确定。,（4-15）,返回,下一页,上一页,返回首页,例1：椭圆规的曲柄可绕定轴转动，其端点与规尺的中点以铰链相连接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，为规尺上的一点。已知： （其中 为常数）， 试求：点 A, B, M的运动方程和运动轨迹。,解,A 点的运动方程:,B点的运动方程:,P点的运动方程:,P点的轨迹方程:,下一页,上一页,返回目录,返回首页,当点的运动轨迹已知时，工程上常以轨迹为坐标轴，并用动点到设定原点的距离s（弧坐标）来确定点的位置。,1弧坐标与自然轴系,当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s是时间t的单值连续函数，记为 s=f (t) （4-1） 该式称为以弧坐标表示的点的运动方程。,返回,下一页,上一页,返回首页,三、用弧坐标法确定点的位置、速度和加速度,如图，动点M沿已知轨迹AB运动，以动点M为坐标原点，以轨迹上过M点的切线和法线为坐标轴，此正交坐标系称为自然坐标轴系，简称自然轴系，矢量在自然坐标轴上的投影为其自然坐标。切向轴和法向轴的单位矢量分别用 和n表示。,显然，自然轴系是随动点沿已知轨迹运动的。单位矢量 和n的大小为1，但方向随点在轨迹上的位置变化而变化。因此，在曲线运动中， 和n为变矢量。 用弧坐标表示点的位置，用自然坐标表示点的速度、加速度，这种研究点的运动的方法称为自然法 。,返回,下一页,上一页,返回首页,速度是表示动点位置随时间变化快慢程度的物理量。,2用自然坐标表示点的速度,按图可见动点位置变化量为矢量MM，称位移，而s则为动点弧坐标的增量，是代数量。 按速度定义，在MM间动点的平均速度v*为,返回,下一页,上一页,返回首页,当t0时，平均速度v*的极限即为动点在t瞬时的瞬时速度，并注意到|MM |的大小与s无限接近和它的方向与过M点的切向无限靠拢，因此可以认为MM = vt，故点在瞬时t的速度为,（4-2）,返回,下一页,上一页,返回首页,速度是一个矢量，其大小为M点的弧坐标对时间t的一阶导数，其方向为轨迹在处的切线方向，速度的单位一般用m/s或km/h。 速度指向由 的正负号确定，若 0 则v指向弧坐标的正向，反之为负。,（4-2）,返回,下一页,上一页,返回首页,加速度表示动点速度的大小与方向随时间改变的快慢程度。按定义，点的加速度应为,3用自然坐标表示点的加速度,可以导出,(为动点处轨迹的曲率半径),于是上式可写成,（4-3）,返回,下一页,上一页,返回首页,由式（4-3）可见，动点的加速度由两项组成， 第一项 其大小为，方向为切向，故称为切向加速度，记作 ，它反映了速度大小随时间的变化率。 第二项 大小为 ，方向为法向，并始终指向该点轨迹的曲率中心，故称为法向加速度，记作 。,（4-3）,返回,下一页,上一页,返回首页,a与an两项之和即为动点的加速度a 有时也被称为全加速度，它反映了速度矢量v的瞬时变化率，根据矢量运算，存在,法向加速度为法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬时变化率。法向加速度越大，速度的方向变化的越快；反之亦然。当点作直线运动时，点的法向加速度恒为零，点的速度方向将保持不变。,（4-4）,返回,下一页,上一页,返回首页,式（4-4）中， 为a与n所夹之锐角，至于a在n的哪一侧则由a的正负决定，如图所示。加速度的单位一般用m/s2或km/s2。,返回,下一页,上一页,返回首页,1）匀速直线运动 当点作匀速直线运动时，由于v为常量，故a=0，an=0 ，此时a =0。 2）匀速曲线运动 当点作匀速曲线运动时，由于v为常量，故a=0，an0 ，此时a = an。 3）匀变速直线运动 当点作匀变速直线运动时，a为常量，an为零，若已知运动的初始条件，即当t=0时。v=v0，s=s0，由dv=adt，积分可得其速度与运动方程为 v=v0+at （4-5） s=s0+v0t+at2/2 （4-6） 由以上两式消去t得 v2=v02+2a（s-s0） （4-7）,4点运动的几种特殊情况,返回,下一页,上一页,返回首页,4）匀变速曲线运动 当点作匀变速曲线运动时，a为常量，an=v2/ ，若已知运动的初始条件，即当t=0时。v=v0，s=s0，由dv=adt，ds=vdt，积分可得其速度与运动方程为 v=v0+at （4-8 ） s=s0+v0t+at2 （4-9） 由以上两式消去t得 v2=v02+2a(s-s0) （4-10） 式（4-5）（4-10）早已为大家所熟悉。引入它们的目的在于说明在研究点的运动时，已知运动方程，可应用求导的方法求点的速度和加速度；反之，已知点的速度和加速度如果初始条件已知的话，亦可用积分法也可得到点的运动方程。,总之，本节所介绍的方法是一种普遍的方法，可应用于各种点的运动分析，而中学时期所学式（4-5）（4-10）等公式不过是在一定前提下的特例而已。,返回,下一页,上一页,返回首页,杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为=t，如图所示求套环M的运动方程、速度和加速度。,解一 以环M为研究对象，由于环M的运动轨迹已知，故采用自然坐标法求解。 以圆环上O点为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。,例4-4,1）建立点的运动方程。由图中几何关系，建立运动方程为 s = R(2)= 2R t,2）求点M的速度。由式（4-2）知点M的速度为,s,2,（+）,v,返回,下一页,上一页,返回首页,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,解一,1）建立点的运动方程。 s = R(2)= 2R t,2）求点M的速度。,3）求点M的加速度。由式（4-3）知点M的切向加速度为,由式（4-3） 知点M的法向加速度为 知点M的切向加速度为,返回,下一页,上一页,返回首页,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,解一,1）建立点的运动方程。 s = R(2)= 2R t,2）求点M的速度。,3）求点M的加速度。,由式（4-4）知点M的全加速度为,a,v,其方向沿MO且指向O，可知套环沿固定圆环作匀速圆周运动。,（+）,返回,下一页,上一页,返回首页,解二 用直角坐标法求解，建立图示的直角坐标系。,1）建立点M的运动方程。由图中几何关系，建立运动方程为 x=Rcos(90-2)=Rsin2t y=Rcos2=Rcos2t,2）求点M的速度。由式（a）求导，得速度在x、y轴上的投影 vx= =2Rcos2t vy= =-2Rsin2t,x,y,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,（a）,（b）,vx,vy,返回,下一页,上一页,返回首页,解二,1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t,2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,（a）,（b）,由式（4-14）知点M的加速度大小和方向余弦为,cos(v，i)=vx/v= cos2t,v,vx,vy,返回,下一页,上一页,返回首页,解二,1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t,2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t,返回,下一页,上一页,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,（a）,（b）,3）求点M的加速度。由式（4-3）对式（b）求导求导，得加速度在x、y轴上的投影 ax= =-4R2sin2t ay= =-4R2cos2t,cos(v，i)= cos2t,ax,ay,返回,下一页,上一页,返回首页,解二,1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t,2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t,已知：=t，求：M的运动方程、速度和加速度。,（a）,（b）,3）求点M的加速度。 ax=-4R2sin2t ay=-4R2cos2t,cos(v，i)= cos2t,a,由式（4-15）知点M的加速度大小和方向余弦为,cos(a，i)= ay /a=-sin2t,ax,ay,或 a =axi+ay j =-4R2(sin2ti+ cos2tj) =-4R2 rM 此结果也说明a与点M的位矢rM反向。,返回,下一页,上一页,返回首页,经比较不难看出，两种解法计算的结果是一致的；也可看出，用自然坐标法解题简便，结果清晰，但只适用于点的运动轨迹已知的情况。在机械工程中，多数物体处于被约束状态，其运动轨迹是确定的，故自然坐标法得到广泛应用。用直角坐标法，解题较繁，但它既适用于点的运动轨迹已知时，也适用于点的轨迹未知时，故应用范围广，在航空、航天工程中的弹道设计计算中常用这种方法。,