第5章 立体的投影,根据立体的组成可以把立体分为基本体和组合体。 柱、锥、球、圆环等几何体是基本体。,5.1 基本体的投影及其表面上的点,a) 棱柱,b) 棱锥,c) 圆柱 d) 圆锥 e) 圆球 f) 圆环,图5-1 基本体,5.1.1 平面立体 5.1.2 曲面立体,5.1.1 平面立体,平面立体-各表面都是平面图形的实体,工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥（棱台）。,图5-2 平面立体,直棱柱-顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形 （特征面），各侧面为矩形。 正棱柱-顶面和底面为正多边形的直棱柱。,1. 棱柱,(1) 棱柱的投影,作图: 如图5-3所示。,(1) 棱柱的投影,分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。,a) 直观图,b) 投影图,图5-3 正六棱柱的投影,动画,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,(2) 棱柱表面上点的投影,a) 直观图,M,A,B,D,C,图5-4 正六棱柱表面取点,【例5-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m和N点的水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。,b)点M 的投影图,a) 直观图,a(d),b(c),a,d,b,c,M,A,B,D,C,m“,a(d),b(c),a,d,b,c,m,m,a“,d“,b“,c“,a“,d“,b“,c“,图5-4 正六棱柱表面取点,先求点M的另两面投影,【例5-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m和N点的水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。,c)点N 的投影图,点的可见性判别： 若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,图5-4 正六棱柱表面取点,(1) 棱锥的投影,2. 棱锥,棱锥底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的 三角形。 正棱锥-底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥。,A,S,B,C,(1) 棱锥的投影,分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面，在俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。左、右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。,作图: 如图5-5所示。,a) 直观图,b) 投影图,图5-5 正三棱锥的投影,a,b,a,b,c,c,a“ (c“),b“,【例5-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m)和n ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。,2. 棱锥表面上点的投影,a) 直观图,b) 投影图,作图方法1,采用什么方法？,平面上作辅助线,图5-6 三棱锥表面取点,【例5-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m)和n ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。,2. 棱锥表面上点的投影,a) 直观图,b) 投影图,作图方法2:,图5-6 三棱锥表面取点,5.1.2 曲面立体,曲面立体表面是平面与曲面或曲面的实体,曲面- 一动线（直线、圆弧或其他曲线）在空间连续运动所形成的轨迹。 母线-形成曲面的动线 素线-母线在曲面上的任一位置 回转面-母线绕固定轴线作回转运动形成的曲面,回转体表面有回转面的立体,a),轴线,母线,图5-7 回转体和回转面的形成,b),工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。,a) 圆柱 b) 圆锥 c) 圆球 d) 圆环,图5-8 常见的回转体,转向轮廓线曲面上可见面与不可见面的分界线。,1. 圆柱由圆柱面、顶面、底面围成,圆柱面一直线绕与它平行的轴线回转而成。 圆柱立体分析:当圆柱的轴线是铅垂线时,圆柱面上的所有素线都是铅垂线,顶面和底面为水平面。,图5-9 圆柱的形成,(1) 圆柱的投影,圆柱的投影分析: 顶面、底面的水平投影重合为一圆，正面投影和侧面投影分别重影为两直线； 圆柱面的水平投影积聚为一圆，正面投影和侧面投影分别为转向轮廓线的投影。,转向轮廓线,图5-10 圆柱的投影分析,作圆柱投影图,圆柱的投影特性: 回转轴线用点画线表示； 水平投影积聚为一圆； 正面投影和侧面投影均为矩形。,图5-11 圆柱的投影,四条转向轮廓线 最左、最右 最前、最后,(2) 圆柱面上取点 【例5-3】 已知圆柱表面上点A、B、C、D的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。,a,a“,(a),分析：点在圆柱面上，利用水平投影积聚性，可以求出点的水平投影。,b,b,(b“),图5-12 圆柱面上取点,作图：如图5-12所示。,2. 圆锥由圆锥面、底面围成,圆锥面- 一直线绕与它相交的轴线回转而成。 圆锥立体分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平面，圆锥面上的所有素线都是通过锥顶的直线。,图5-13 圆锥的形成,(1) 圆锥的投影,转向轮廓线,圆锥的投影分析: 底面的水平投影反映实形为一个圆，正面投影和侧面投影分别重影为一直线； 圆锥面的水平投影为一个圆，正面投影和侧面投影分别为转向轮廓线的投影。,图5-14 圆锥的投影分析,作圆锥投影图,图5-15 圆锥的投影,四条转向轮廓线 正面投影画最左、最右的 侧面投影画最前、最后的,圆锥的投影特性: 回转轴线用点画线表示； 水平投影为一个圆（底面轮廓线），无积聚性； 正面投影和侧面投影为相同的等腰三角形。,(2) 圆锥面上取点,图5-16 圆锥面上取点,a),b),作图方法1：辅助素线法,a“,s,A,b,a,b“,b,辅助素线,【例5-4】 已知圆锥表面上点A的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。,a“,a,A,图5-16 圆锥面上取点,c),d),作图方法2：辅助纬圆法,辅助纬圆,用辅助直线进行取点作图的方法只适用于母线为直线的曲面，而利用垂直于轴线的辅助圆进行作图的方法，可适用于各种回转曲面。,3. 圆球由球面围成,球面半圆绕其直径为轴线回转一周而成。,图5-17 圆球的形成,(1) 球的投影,图5-18 圆球的投影,a),b),c),d),最大水平圆,最大正平圆,最大侧平圆,作球的投影图,球的投影特性 三个投影均为平行于投影面的最大圆的投影（转向轮廓线的投影）； 圆的直径=球的直径； 三个圆均无积聚性。,图5-19 圆球的投影,(2) 球面上取点 【例5-5】 已知圆球表面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。,a“,A,a,图5-20 球面上取点,a),b),辅助纬圆,用辅助纬圆法作图,4. 圆环由环面围成,圆环面由圆母线绕不过母线圆心，但与母线在同一平面上的轴线回转而形成的。,（1）圆环的投影,图5-21 圆环的投影,圆环的投影特性,水平投影的点画圆为母线圆心的运动轨迹，大圆、小圆各为上半环和下半环转向轮廓线的投影； 正面投影和侧面投影中的圆为母线转向轮廓线的投影，两圆相切线为环面转向轮廓线的投影； 内环面不可见，正面投影和侧面投影中的内环面母线转向轮廓线圆弧画成虚线。,图5-21 圆环的投影,（2） 环面上取点,E,e,辅助纬圆,【例5-6】 已知圆环表面上点E的正面投影。求出其水平投影，并判别可见性。,图5-22 环面上取点,在零件表面上常会遇到平面与立体和立体与立体相交的情况，如图5-23所示为带交线的零件。在画图时为了准确地表达它们的形状，必须画出它们所产生交线的投影。,5.2 立体表面的交线,图5-23 带交线的零件实例,a) 顶尖（截交线）,b) 拨叉轴（截交线）,c) 管接头（相贯线）,5.2.2 相贯线,5.2.1 截交线,动画,截平面:截切立体的平面,截交线:截平面与立体表面的交线,截断面: 立体被截切后的断面,截交线的基本概念：,切割体:基本体被平面截切后的部分,5.2.1 截交线,图5-24 截交线的基本概念,截交线的性质：,截交线是截平面与立体表面的共有线。 截交线是封闭的平面图形。 截交线的形状取决于: 立体表面的几何形状 截平面与立体的相对位置,1. 平面与平面立体相交,求截交线的投影，就是求出截平面与平面立体上各被截棱线的交点的投影，然后依此连接即可。,截交线直线围成的封闭的平面多边形,【例5-7】已知正六棱柱被正垂面截切后的两个投影，求其侧面投影。,投射方向,形体分析与投影分析：,找截交线的投影, 补正六棱柱侧面投影, 补全其他轮廓线，完成侧面投影,图5-25 平面截切正六棱柱,作图步骤（先体后面）：,2, 求截平面与棱线交点的投影, 判别可见性,依次连接交点的投影,图5-26 平面截切四棱锥,形体与投影分析；,【例5-8】 四棱锥被正垂面P截切，求出四棱锥表面的截交线，并画出被截切四棱锥的三面投影图。,1,2,3,1“,3“,2“,(4),4,4“,1,2,3,b) 求正垂面与立体的交线,作图步骤:, 求正垂面与立体的交线,图5-26 平面截切四棱锥,c) 整理、加深, 整理、加深,图5-26 平面截切四棱锥,d) 检查、完成, 检查、完成,图5-26 平面截切四棱锥,2. 平面与回转体相交,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线组成。,求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有点。,截交线的性质：, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。, 先找特殊点，再补充中间点。,求截交线的步骤：, 空间及投影分析,(1) 平面与圆柱相交,圆柱被截后截交线的形状,取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。,垂直,圆,椭圆,平行,两直线,倾斜,与圆柱面相交截交线的形状,与轴线,截交线投影,【例5-9】 求平面与圆柱相交的三面投影。,分析：形体分析与投影分析；,找特殊点,作图步骤： 补全圆柱的投影,1,2