4.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系. 问题: 用一个怎样的数去反映这种联系.,一.协方差定义与性质,若X, Y 独立,则根据数学期望的性质，有 E(XY)=EX EY,为X,Y的协方差.记为,E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX EY=0,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,Cov(X, Y)=E(XY)-EXEY.,证明,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,注,(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,(2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0;,(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数；,(4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);,协方差性质,(5),性质1,解,例:设随机变量XB(12,0.5),Y N(0,1), Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差,定义: 当Cov(X,Y)=0时，称X与Y 不相关。,？,“X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系？,例 设(X, Y)在D=(x, y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。,性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价,(1) X,Y不相关;,(2) Cov(X,Y)=0;,(3)E( XY)=EX EY;,(4) D(X+Y)=DX+DY.,二.相关系数,1. 定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则,注1：若记,称为X 的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,称为X与Y的相关系数.,注2,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,例3 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12 ; 2 ,22 ; ), 求XY,解,若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,例4 设 U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,引理,E(Y 2 ) 0 时，当且仅当,证 令,当E(X 2 ) 0,即,即,等号成立,即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1.,2. 相关系数的性质 定理 在以上假设条件下，有 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;,1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,解,例5,以上的结果说明了什么？,解1),2),例6, X 的 k 阶原点矩, X 的 k 阶绝对原点矩, X 的 k 阶中心矩, X 的 方差,三. 矩, X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩, X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩, X ,Y 的 二阶原点矩, X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差, X ,Y 的相关系数,四. 协方差矩阵,1.定义 设X1， , Xn为n个随机变量, 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为随机向量 (X1， , Xn)T的协方差矩阵C。即,例6 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数 去逼近 Y 所产生的平均平方误差为,当取,平均平方误差最小.,附录,矩在线性回归中 的应用,附例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV,解,由,而,故,a,b 取何值时, U与V 不相关？ 此时, U与V 是否独立？,继续 讨论,但 UN (0, 2a2 2), VN (0, 2a2 2 ),若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关.,且U ,V 相互独立,正态随机变量的结论,则,若(X ,Y ),则,则,推广,X ,Y 相互独立,六种常用随机变量的期望与方差,小结,