5.2 随机变量的收敛性与强大数定律,例 1. 设,均为退化分布的随机变量，且,一、概率收敛与分布收敛,显然,而,的分布函数分别为,在F(x) 的连续点x处，有,也称,以分布收敛于X，,记作,或,定理1. 设Xn,Yn是两个随机变量序列,a, b为两个,常数,则,定理2.,;反之未必成立。,证明：设xxx“,Xx= Xx, Xnx Xx, Xnx Xnx Xx, Xnx,F(x) Fn(x) +PXx, Xnx Fn(x) +PXn -X x - x Fn(x) +P|Xn X| x - x,Xnx= Xnx, X x“ Xnx, X x“ X x“ X x“, Xnx,Fn(x) F(x“)+PX x“, Xnx F(x“)+PX- Xn x“ -x F(x“)+P|X- Xn | x“ -x,xxx“,例,不妨设Xn与X均独立，则,不成立.,定理3.,P|Xn-c|= PXn c+ +PXnc - =1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-) 1-1+0=0,证明. 由定理2有,反之，,定理4. (连续性定理)分布函数列Fn(x)弱收敛于,分布函数F(x)的充分必要条件为:,证明：略。,例1（辛钦大数定律）,则,证明：,设Xi的特征函数为(t),则,的特征函数为,由上述定理有,由定理3,例2,则,证明 PXn+Yn x= PXn+Yn x,|Yn-c| + PXn+Yn x, |Yn-c| , PXn x-c+ ,|Yn-c| +P|Yn-c| ,PXn+Yn x PXn x-c+P|Yn-c| (1),PXn+Yn x PXn+Yn x,|Yn-c| PXn x-c-,|Yn-c| = PXn x-c- PXn x-c-,|Yn-c| ,PXn+Yn xPXn x-c- P|Yn-c| (2),比较（1）（2）得,例3（1）,则,则,证明:作为作业。,（2）,二、r阶矩收敛,且,说明（1） r=1,称为平均收敛； （2） r=2,称为均方收敛；,定理5,定理6,反之未必成立。,三、概率1收敛,注,概率的上连续性,四、强大数定律,一、概率收敛与分布收敛,二、概率1收敛,三、强大数定律,