第3章 正弦交流电路稳态分析,3.1 正弦量的基本概念 3.2 相量法 3.3 基本无源元件的正弦交流电路 3.4 阻抗和导纳 3.5 正弦交流电路的功率 3.6 功率因数的提高 3.7 正弦交流电路稳态分析 3.8 电路的谐振 3.9 频率响应,一、基本内容：,1、正弦量的基本概念、相量法； 2、基本无源元件的正弦交流电路； 3、阻抗和导纳； 4、正弦交流电路的功率和功率因数的提高； 5、正弦交流电路稳态分析； 6、电路的谐振、频率响应。,第3章 正弦交流电路稳态分析,二、教学要求：,1、理解正弦量的三要素、相位差、有效值和相量表示法。 2、掌握电路定律的相量形式和相量图，掌握基本无源元件的伏安关系相量形式和阻抗的概念。 3、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法。 4、正确理解有功功率、无功功率和视在功率的概念并掌握相关计算。,第3章 正弦交流电路稳态分析,5、了解提高功率因数的方法及其经济意义。 6、正确理解谐振的定义，掌握谐振频率的求解以及谐振时各元件、各支路的电压、电流特性。理解谐振时电路中的能量和功率变化规律。 7、掌握频率特性和网络函数的概念，了解滤波器的概念、类型和几种典型的滤波器电路。,第3章 正弦交流电路稳态分析,3.1.1 正弦量,返回主目录,电路中随时间按正弦函数规律变化的电流或电压统 称为正弦量。以电流为例，正弦量的一般解析式为：,波形如图3-1所示：,图 3-1 正弦量的波形,返回主目录,初相、最大值和角频率称为正弦量三要素,返回主目录,3.1.2 周期和频率,因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加 2，则角频率、周期T和频率之间关系为：,工频f=50HZ， =314rad/S，T=20mS,正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用字母,表示，单位为S。单位时间内正弦量变化的次数叫做频率， 用字母表示，单位为（赫兹）。,正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用字母,返回主目录,3.1.3 幅值和有效值,有效值是按等效应概念来定义的，如热效应。让周期电流和直流电流流过等值的电阻，在相同时间T（周期电流的一个周期）内，若两者产生的热效应相等，则称直流电流的数值为周期电流的有效值。,有效值,正弦量变化过程中的最大瞬时值称为幅值，采用大写 字母加 下标表示，如 。,3.1.4 相位差,设有两个同频率的正弦量为：,相位差也是在主值范围内取值，即。 显然两个同频率正弦量的相位差等于初相之差，是一个与时间无关的常数。,返回主目录,(a)图为同相， (b)图为反相。,3.2.1 复数及其基本运算,1、复数的四种表示形式,1)代数形式 A = a +jb 复数的实部和虚部分别表示为： ReA=a ,ImA=b 。,3)根据图 3.2 得复数的三角形式：,图3-2 复数的复平面表示,返回主目录,2)图3.2为复数在复平面的表示。,或,两种表示法的关系：,根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：,4)指数形式有时改写为极坐标形式：,返回主目录,2、复数的运算 (1) 加减运算 采用代数形式比较方便。,若,则,即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。,图3.2,返回主目录,(2) 乘除运算 采用指数形式或极坐标形式比较方便。,即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减.,若,则,返回主目录,式中旋转复变量 即为复常数 以角速度 绕坐标原点逆时针旋转时的表达式， 称为旋转因子，该复变量在虚轴上的投影就是正弦量:,返回主目录,3.2.2 正弦量的相量表示,设有正弦交流电压：,根据欧拉公式该正弦交流电压可以表示为：,因此正弦量可以通过旋转复变量在虚轴上的投影来表示。如图3-5所示。,图3-5 相量与其对应的正弦曲线,当正弦量给定以后便可以构造一个复常数和旋转因子 乘积的复变量使其虚部等于已知的正弦量，由于在线性电路中正弦交流响应为同频率的正弦量，因此可以用该复常数表示和区别正弦量，并将该复常数定义为正弦量的相量。为了区别于一般的复数，正弦量的相量用大写字母加“ ”表示。,例如正弦电流 的相量为:,返回主目录,3.2.3 基尔霍夫定律的相量形式,对于电路中的任一结点上连接的K条支路，根据KCL有：,返回主目录,对于电路构成任一回路的K条支路，根据有KVL：,当式中电流和电压均为同频率的正弦量时：,上式即为基尔霍夫定律的相量形式。,设流过的电流为:,电压为:,3.3 基本无源元件的正弦交流电路,3.3.1 电阻元件的正弦交流电路,图3-6,返回主目录,电阻元件上的电压和电流为同频率、同相位的正弦量。 电压有效值:,初相:,于是有:,上式即为欧姆定律的相量形式,返回主目录,电阻元件的相量模型和相量图如图3-6（b）和图3-6（c）所示。,图3-6（b）,图3-6（c）,电阻元件的瞬时功率,返回主目录,由上式可知在正弦激励下电阻的功率表达式 包含一个恒定分量和一个频率为激励两倍频 的正弦变化分量，其电流、电压波形和功率 波形如图3-7所示。,图3-7 电阻元件的电流、电压波形和功率波形,从瞬时功率的表达式和波形图可以看出，电阻上的瞬时功率始终为正值，这说明电阻元件上能量的交换是不可逆的，电阻元件在吸收电源提供电能的同时以热能的形式散发掉。所以电阻元件是耗能元件。,返回主目录,工程上通常用瞬时功率在一个周期内的平均值来表征交流电做功能力的大小，用大写字母P表示,在交流电路，通常所说的功率均指平均功率,平均功率又称为有功功率，单位为瓦特(W) 或千瓦(KW),返回主目录,【例3-1】把一个额定值为220V,，,1000W的电阻炉接在,220V交流电源上，求电阻炉的电阻,R和电流。,解：电阻炉的电阻:,流过电阻炉的电流为:,返回主目录,3.3.2 电感元件的正弦交流电路,图3-8 电感元件的时域模型、相量模型和相量图,（a）,（b）,（c）,如图3-8（a）所示，在电感元件在电压和电流取关联参考方向的情况下，电压和电流满足,返回主目录,不妨设流过电感的电流,相量形式为,则,初相 ，,初相 ，,返回主目录,上式即为电感元件上电压和电流关系的相量形式。式中的,具有电阻的量纲，单位为欧姆（,），称之为电感电抗，简称感抗，用,表示，即,感抗具有电阻的量纲，具有阻碍电流变化的作用。感抗与频率成正比，频率越大，感抗越大。在直流情况下， ， 所以电感元件相当于 短路。电感元件的相量模型和相量图如图3-8（b）和图3-8（c）所示,返回主目录,电感元件的瞬时功率为:,由上式可知，电感的瞬时功率以两倍于激励的频率按正弦规律变化，其电流、电压波形和功率波形如图3-9所示。,平均功率为:,返回主目录,图3-9电感元件的电流、电压波形和功率波形,返回主目录,无功功率只表示元件与外部能量的交换，而并非元件实际消耗的功率，为了和有功功率加以区别，无功功率的单位为乏（var)或千乏（kvar）。,解：（1）感抗,返回主目录,(2)设电压初相位为零度，则电流:,（3）无功功率:,返回主目录,3.3.3 电容元件的正弦交流电路,如图3-10（a）所示，在电容元件在电压和电流取关联参考方向的情况下，电压和电流满足,图3-10电容元件时域模型、相量模型和向量图,（a）,（b）,（c）,返回主目录,不妨设加在电容器两端的电压 ，,相量形式为 ，则,由上式可知，电容元件上的电压和电流依然为同频率的正弦量，但是电流超前电压 。,电流有效值,返回主目录,该式即为电容元件上电压和电流,关系的相量形式。式中的,同样具有电阻的量纲，,单位为欧姆（ ），称之为电容电抗，简称容抗，用,表示，即:,容抗同样具有电阻的量纲，具有阻碍电流变化的作用。容抗与频率成反比，频率越大，容抗越小。在直流情况下， ， ，所以电容元,返回主目录,件相当于开路，具有隔直作用。电容元件的相量模型和相量图如图3-10（b）和图3-10（c）所示。,电容元件的瞬时功率为,由上式可知，电容的瞬时功率也以两倍于激励的频率按正弦规律变化，其电流、电压波形和功率波形如图3-11所示。电容上的有功功率,返回主目录,瞬时功率表达式的幅值同样表 达了电容和外界进行能量交换的规 模大小。一般规定电容的无功功率 为负值以表明和电感无功功率之间 的补偿作用，电容的无功功率用,表示，即,图3-11电容元件的电流、电压波形和功率波形,返回主目录,【例3-3】某电容元件的电压和电流取关联参考方向，已知 ， ，,（1）在工频下求电容值C；,（2）如果电路中电源频率为,时，求电流 。,解：（1）由已知条件有:,所以电容:,返回主目录,（2）,所以,返回主目录,思考题 1. 判断下列表达式的正误。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,返回主目录,3.4 阻抗和导纳,3.4.1 复阻抗,阻抗和导纳是正弦交流稳态分析的重要概念。图3-12（a）是一个线性无源网络，当它在正弦激励下处于稳定状态时，端口上的电压、电流将是同频率的正弦量。,图3-12 无源一端口的阻抗,返回主目录,我们定义端口处的电压相量和电流相量在关联参考方向下的比值为该无源线性网络的阻抗，用字母Z,表示，即：,式中Z又称为复阻抗，简称阻抗，单位为欧姆，简称欧（ ）。图形符号如图3-12（b）所示。Z的模值,称为阻抗模，等于端口电压和电流有效值的比值；辐角 称为阻抗角，它是端口电压和端口电流的相位差。即,返回主目录,阻抗是一个复数，实部称为电阻，用R表示；虚部称为电抗，用 表示。其代数形式为,阻抗模 ，阻抗角 ，阻抗模、电阻和电抗构成直角三角形，称为阻抗三角形。如图3-13所示。,图3-13 阻抗三角形,当无源网络内部只含有单个元件,时，对应的阻抗表达式分别为,返回主目录,当无源网络内部为 元件的串联 时，如图3-14所示。,图3-14 R、L、C 串联电路,阻抗为：,Z的实部就是电阻R，虚部电抗 。 、当 ，即 时，端口电压超前于电流，阻抗Z呈感性； 、当 ，即 时，端口电压滞后于电流，阻抗Z呈容性； 、当 ，即 时，端口电压和电流同相位，电路中电感和电容的作用效果互相抵消，阻抗Z呈电阻性。 按照图3-14所示参考方向，根据KVL有,返回主目录,返回主目录,设电流为参考相量，画出相量图如图3-15(a)所示。用 表示阻抗虚部电抗上的电压，即,有效值,由相量图可见，总电压 和电阻电压 、电抗电压 三个电压构成一个直角三角形，如图3-15（b）所示。该三角形称为电压三角形。显然电压三角形和阻抗三角形相似。,返回主目录,图3-15 RLC串联电路的相量图,返回主目录,3.4.2 复导纳,复阻抗Z的倒数定义为复导纳，即线性无源二端网络端口电流相量和电压相量在关联参考方向下的比值。复导纳简称导纳，用大写字母Y表示。根据定义有,的模值 称为导纳模，等于端口电流和端口电压有效值的比值；辐角 称为导纳角，它是端口电流和端口电压的相位差。,导纳通常表示为 ，实部 称为电导，虚部 称为电纳。导纳的单位为西门子（S）。 当无源网络内部只含有单个元件 时，对应的导纳表达式分别为,返回主目录,当无源网络内部为 元件的并联时，如图3-16所示。根据KCL有,返回主目录,所以 ， 的实部就是电导 ， 虚部电纳 。当 ，即 时，导 纳 呈容性；当 ，即 时，导纳 呈感性；当 ，即 时，导纳 呈电阻性。,返回主目录,图3-16 并联电路,由以上分析可知，在分析正弦交流电路的线性无源二端网络时可以将网络等效为一个阻抗