学习要点,正弦交流电路的基本概念 正弦交流电路的基本表示方法 R、L、C 电路元件的特征 正弦交流电路的分析方法 电路的谐振,第2章 正弦交流电路,第2章 正弦交流电路,2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 含单一参数电路元件的交流电路 2.3 正弦交流电路的分析 2.4 电路的谐振,2.1 正弦交流电的基本概念 2.1.1 正弦交流电的三要素 正弦交流电：凡是随时间按正弦规律变化的电流和电压统 称为正弦电量，或称为正弦交流电。 设有一个正弦电流，其数学表达式为对于一个正弦电流 i，如果Im、 和 已知，则它与时间t的关系就是 唯一确定的。 因此，将Im、 和 称为正弦交流电的三要素。 正弦电量的三要素是正弦电量之间进行比较和区分的依据。,1.周期和频率 正弦交流电是时间的周期函数，其完整变化一次所需的时 间称为周期，用字母T 表示，单位是秒（s）。正弦交流电每秒 内变化的次数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹（Hz）。 频率和周期互为倒数 角频率就是正弦交流电在每秒内变化的弧度，用字母 表 示，单位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每变化一次需经历2弧 度，即 角频率与周期、频率的关系为,2.相位、初相位和相位差 随时间变化的角度（ ）称为正弦交流电的相位， 或称相角。 是正弦量在t=0时的相位，称为初相位，简称初 相，即 初相的单位用弧度或度来表示，其取值范围 任选电路中的某一个正弦电量的初相为零的瞬时作为计时起 点，这个初相位为零的正弦电量称为参考正弦量。 两个同频率正弦量相位之差称为相位差，用字母 表示。 设两个同频率的正弦电量u、i 为 则它们的相位差为,当正弦量的计时起点改变时，其相位和初相都会随之 跟着改变，但是两者之间的相位差保持不变。在电路中常采 用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦电量的相位比较结 果。 对于上式中的 ： 若 ，称u比i 超前 角 ，或者说i比u滞后 角； 若 ，称u比i 滞后 角，或者说i比u超前 角； 若 ，称u与i同相； 若 ，称u与i反相； 若 ，称u与i正交。,3.瞬时值、有效值和最大值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示， 如用i、u及e分别表示正弦电流、电压、电动势的瞬时值。瞬 时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母 表示，如i、u及e的最大值分别用Im、Um、Em来表示。 交流电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，即当 某一交流电流i通过一个线性电阻R时，在一个周期内所产生 的热量，与某一直流电流I通过同一电阻在相同时间内产生的 热量相等，则这一直流电流的数值就称为该交流电流的有效 值。 可以证明：正弦交流电流的有效 值为它在一个周期内的方均根值，即,同样可以得到交流电压、交流电动势的有效值为 习惯上有效值与直流一样，都用大写字母表示。 对于正弦电流，设 ，则它的有效值 对于正弦电压、电动势，它们的有效值为 正弦交流电的最大值是其有效值的 倍。,【例2】已知正弦电压u和电流i表达式分别为 试以电压u为参考量重新写出电压u和电流i的瞬时值表达式， 并求电压u和电流i的有效值。 解：i与u的相位差为 以电压u为参考量，则电压u的瞬时值表达式为 故电流i的瞬时值表达式为,电压u的有效值 电流i的有效值 同频正弦电量的代数和，两个同频正弦量的乘、除，正弦 量乘以常数，正弦量的微分、积分等运算，其结果仍为一个同 频正弦量。,2.1.2 正弦量的相量表示法 正弦交流电路的计算，把三角函数运算简化为复数形式的 代数运算。 1.复数 （1）复数表示方法：一个复数可以有四种表示方法。 代数形式 复数A也可以用复平面内的一条有向线段来表示,三角函数形式 由于 所以 指数形式 根据欧拉公式 得 极坐标形式 极坐标形式是指数形式的简写 ： 若两个复数的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等。 （2）复数运算 复数的加减运算 ：各个复数的实部和虚部分别相加减。复数的,加减运算宜用代数形式或三角函数形式进行。 例如： 则 复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则作图 完成。,复数的乘除运算：复数的乘除运算宜用指数形式或极坐标形式进 行。 例如： 则 ： 或： 在电路中各部分所产生的电流和电压的频率都与电源的频率 相同。在分析正弦交流电路时可以把频率这一要素作为已知量。 用复数的模表示正弦量的大小，用复数的幅角表示正弦量的初 相位，这种用于表示正弦交流电的复数称为相量。,2.相量：,对于正弦电压 用复数来表示 用正弦量幅值定义的相量称为幅值相量，也可以定义有效 值相量。 正弦量与表示正弦量的相量之间是一一对应关系。 正弦电量 u= 有效值相量 如果已知频率 ，则与此相量对应的正弦电量为,rad/s的正弦电量的有效值相量为,相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。在 同一复平面内表示的各相量频率相同。画相量图时要注意各 正弦量之间的相位差。 对于正弦量 有效值相量分别为： 相量图如右图所示 。 正弦量是时间的函数，而正弦量 的相量并非时间的函数，所以只能说 用相量表示正弦量，而不是等于正弦量。 利用相量分析正弦交流电路时，应注意以下几点：, 只有对同频率的正弦量，才能用对应的相量来进行运算； 在应用相量分析时，先将正弦量变换为对应的相量，通过复 数的代数运算求得所求正弦量对应的相量，再由该相量写出对 应的正弦量的瞬时表达式； 电工计算中复数算子j称为旋转90的算子。 【例22】已知两个正弦电流分别为 试求： 解：i1、i2的有效值相量分别为 -30 A 60A,10.4A,2.2 单一参数电路元件的交流电路 由电阻、电感、电容单个元件组成的正弦交流电路是最 简单的交流电路，也称单一参数电路元件的交流电路。 2.2.1 电阻元件的正弦交流电路 设在任一瞬时电压u和电流i为关联 参考方向 设 电阻的电流为 由式 得 或,电阻电路中、电压的有效值（或最大值）之间的关系符合欧 姆定律。 用相量的形式来分析电阻端电压和电流的关系： 外加电压uR和产生的电流iR的相量形式分别为 电阻电路中欧姆定律的相量形式，表明了电阻端电压 和电流 的有效值之间符合欧姆定律，在又表明了它们 的相位关系，既 和 同相。,2.2.2 电感元件的正弦交流电路 设电压uL和电流iL在关联参考方向下，则电压uL和电流iL的 关系为 设 则 当正弦电流通过电感元件时，在电感元件上产生一个同频 率的正弦电压，且在相位上超前电流90。 由 可得：,XL称为电感元件的电抗，简称为感抗。频率的单位为 Hz，电感的单位为H，感抗的单位为。 用相量的形式来分析电感端电压和电流的关系： 设电流为参考相量 电感上的电压相量为 上式为电感电路中欧姆定律的相量形式，其既表明了电 感端电压与电流的有效值之间符合欧姆定律，又表明了电感 端电压与电流的相位关系，即电感端电压超前电流90。,0,90,2.2.3 电容元件的正弦交流电路 设任一瞬时，电压uC和电流iC在关联参考方向下，则电压 uC和电流iC的关系为 设电压为参考正弦量 则 通过电容的电流iC与它的端电压uC是同频率的正弦量，且 电流超前电压90。,由 可得： XC称为电容的电抗，简称容抗，单位为。 用相量的形式来分析电容端电压和电流的关系： 设电容上的电压为参考相量 通过电容的电流iC相量为 上式为电容电路中欧姆定律的相量形式，其既表明了电容端电,0,或,压与电流有效值之间符合欧姆定律，又表明了它们的相位关 系，即电流在相位上超前端电压90。 2.3 正弦交流电路的分析 在直流电路中由欧姆定律和基尔霍夫定律所推导出来的 一切结论、定理和分析方法都可以扩展到正弦交流电路中。 2.3.1 基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律对交流电路中的任一节点在任一瞬时都 是成立的，即 如果这些电流都是同频率的正弦量，则可用相量表示为 基尔霍夫电流定律在正弦交流电路中的相量形式，与直流,电路中的基尔霍夫电流定律 在形式上是相似的。 基尔霍夫电压定律对交流电路中的任一回路在任一瞬时 都是成立的，即 如果这些电压都是同频率的正弦量，则可用相量表示为 2.3.2 阻抗的串联和并联 1阻抗 设有一RLC串联电路如图a）所示。以电流i为参考正弦 量，即,根据基尔霍夫电压定律有 转换为对应的相量运算 ，则 由于,相量模型示意图如图b）所示。,则,写成 Z 称为RLC串联电路的复阻抗，简称阻抗，单位是。 为阻抗值，单位是；X为电抗，单位是； R 为电阻，单位是； 称为阻抗角。 复阻抗虽然是复数，但它不是相量，所以字母Z上不能标有 “.”。,在不同的频率下，阻抗具有不同的性质： 当XL=XC时，X=0， =0，Z=R， 与 同相，如图a） 所示，电路呈电阻性。 当XLXC时，X 0， 0， 超前于 为 ，如图b） 所示，电路呈电感性。 当XLXC时，X0， 0， 滞后于 为 ，如图c） 所示，电路呈电容性。,2.阻抗的串联 串联阻抗的等效阻抗Z等于各串联阻抗之和。 3.阻抗的并联 并联阻抗的等效阻抗Z的倒数等于各并联的阻抗倒数之 和。,2.3.3 正弦交流电路的功率 在正弦交流电路中，电阻是耗能元件，而电感和电容是储 能元件。电感和电容只与外电路进行能量的交换，本身并不消 耗电能。 1.有功功率P 对于无源二端网络 ，设 为电压与电流之间的相位差，则瞬时功率为 该网络平均功率即有功功率为,称为电路的功率因数，一般用 表示，它是交流电路 中一个非常重要的指标。 称为功率因数角。 有功功率不仅与电压和电流的有效值的乘积有关，还与电 压与电流的相位差有关。 对于电阻元件R，由于 ，所以 对于电感元件L，由于 ，所以, 对于电容元件C，由于 ，所以 由此可见：在正弦交流电路中，电感、电容元件实际上不 消耗电能，而电阻总是消耗电能的。电路所消耗的平均功率即 为电阻所消耗的功率。因此，平均功率即称为有功功率。有功 功率P的单位是瓦（W）。 2.无功功率Q 无功功率用来衡量电感和电容元件与电源进行能量交换规 模的大小，用字母Q表示，单位乏（Var）。感性无功功 率与容性无功功率之间可以相互补偿，故有,3.视在功率 电压的有效值与电流的有效值的乘积，定义为电路的视在 功率，用大写字母S表示 。 视在功率的单位为伏安（VA），通常用来表示电源设备的 容量。 有功功率P、无功功率Q和视在功率S三者之间的关系为,有功功率P、无功功率Q和视在功率S组成一个直角三角 形，称为功率三角形 。,【例2-7】当把一感性负载接到220V、50Hz的交流电源上工 作时，消耗的有功功率为700W，功率因数为0.7。今欲并联一电 容器将功率因数提高到0.9。试求：所需补偿的无功功率QC及电 容量C。 解：未并联电容器时 电路的无功功率 并联电容器后 电路的无功功率 所需补偿的无功功率 所需并联的电容量,2.3.4 正弦交流电路的分析举例 【例2-8】电路如图所示，其中Z1=（4+j10），Z2=（8- j6），Z3=j8.33，U=60V