第7章 非线性控制系统,7.1 非线性系统概述 7.2 非线性系统的描述函数分析法 7.3 非线性系统的相平面分析法 7.4 改善非线性系统性能的措施 7.5 基于Simulink的非线性系统分析,7.1 非线性系统概述,非线性系统的特征 非线性系统的分析与设计方法 常见非线性特性及其对系统运动的影响,7.1.1 非线性系统的特征,当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。 非线性特性普遍存在于控制系统中。非线性是宇宙间的普遍规律，而线性只是对实际情况在一定条件下理想化的近似。 对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统的数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。,1. 稳定性分析复杂,非线性系统的稳定性和响应形式除了与系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小及系统的初始条件有关。,非线性元件的正弦响应会产生非线性畸变，输出中除了会有与输入同频率的基波成分外，还有其它各种谐波分量。,2. 自持振荡,非线性系统响应除了发散和收硷两种运动状态外，系统本身还会产生幅值、频率与自身结构参数有关的自振运动,3. 频率响应复杂,7.1.2 非线性系统的分析与设计方法,.相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。相平面法适用于分析一、二阶线性或非线性系统。,.描述函数法 描述函数法一种图解分析法，是一种工程近似方法。该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 .李亚普诺夫第二法,.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的一个发展方向。,常见非线性特性：,死区（不灵敏区）特性 饱和（限幅）特性 间隙（滞环）特性 继电器特性,7.1.3 常见非线性特性,常见的非线性特性 死区（不灵敏区）非线性,x,y,0,k,影响：提高抗扰性能 增大稳态误差,常见的非线性特性 饱和（限幅）非线性,影响：增益降低稳定性提高 快速性和稳态精度下降,常见的非线性特性 间隙非线性,影响：降低稳定裕量 稳态精度下降,常见的非线性特性 继电特性,具有滞环的继电特性,继电特性,理想继电特性,有死区继电特性,具有死区继电特性,理想继电特性,7.2 描述函数法,7.2.1 描述函数的基本概念 7.2.2 典型非线性特性的描述函数 7.2.3 非线性系统的简化 7.2.4 描述函数法分析非线性系统的稳定性,1. 描述函数的定义 非线性系统可变换为如图所示结构:,一般，y(t)是一个非正弦周期函数。将y(t)按傅立叶级数展开：,7.2.1 描述函数的基本概念,其中，A0为直流分量； 为第n次谐波分量。,若非线性元件具有中心对称性质，则 为奇函数，A00；且线性部分的低通滤波性能很好，可略去y(t)中的高次谐波后,其中：,由于N(A)描述了非线性环节输出量的基波和输入正弦信号的幅值和相位关系，又称为非线性环节的等效幅相特性。当非线性元件用描述函数表示后，就可用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性了。 又由于描述函数是在只考虑基波分量，忽略高次谐波分量后得到的结果，所以这种近视处理方法又称为“谐波线性化法”。,定义：,表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节输出量的一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数。用N(A)表示：,用函数描述法分析非线性系统的基本条件： 1）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值； 2）线性部分的低通滤波性能很好。,2. 描述函数的求取步骤,1) 取输入信号为 ，根据非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。,2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达式，求相关系数A1、B1。若非线性特性中心对称，则y(t)具有奇次对称性，A0=0 。输出的基波分量为：,3） 用下式计算描述函数。,7.2.2 典型非线性特性的描述函数,*理想继电器特性,其输出是一个奇函数，对于任何奇函数，A1= 0。y(t)的一次谐波分量是：,*饱和特性,数学表达式：,式中：,饱和特性的描述函数为：,* 死区与滞环继电特性,数学表达式：,y(t)为奇对称函数，而非奇函数，故,死区滞环继电特性的描述函数为：,其它典型非线性特性的描述函数见表71,理想继电特性（h=0 ）,死区继电特性(m=1),滞环继电特性,7.2.3 非线性系统的简化,当系统由多个非线性环节和多个线性环节组合而成时，在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。,1. 非线性特性的并联,N(A)N1(A)N2(A),2. 非线性特性的串联,其中：,7.2.4 非线性系统稳定性分析的描述函数法,如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件，则可利用线性系统的频率响应法，分析非线性系统的稳定性。,1. 非线性系统的稳定判据,当非线性特性采用描述函数N(A)近似等效时，如图所示系统的闭环特征方程为：,即：,称 为非线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线 时，曲线上箭头表示随A增大的变化方向。 就是系统线性部分的频率特性， 相当线性系统的(-1，j0) 点。,非线性系统的稳定判据：,若线性部分开环频率特性是稳定的，则 1) 如果 曲线 不包围 线，则非线性系统是稳定的。 2) 如果 曲线包围 线，则非线性系统是不稳定的。 3) 如果 曲线与 曲线相交，则在非线性系统中产生周期运动。,1）,2）,3）,2. 非线性系统存在周期运动时的稳定性分析,系统处于周期运动时，如果该周期运动能够维持，即考虑外界小扰动作用使系统偏离该周期运动，当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动，即自持振荡。振荡的振幅由交点处 曲线对应的A值决定，振荡的频率由交点处 曲线对应的 值决定，该交点称为自振点。否则，为不稳定工作点。,如图7-11所示系统， N10点为不稳定工作点，N20点为自振点。,周期运动稳定性判据：,在 曲线和 曲线的交点处，若 曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点为自振点。反之，若 曲线沿着振幅A增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该交点为不稳定工作点。,非线性系统周期运动稳定性分析举例,例7-1 设具有饱和非线性特性的控制系统如图所示，其中饱和非线性的参数k2，a1，试分析： 1) 非线性系统的稳定性； 2) 若系统有自振，计算自振频率和振幅。,解: 非线性部分 饱和非线性描述函数为：,作负倒描述函数曲线如图。,负倒描述函数：, 线性部分,可见 曲线与实轴有交点，计算交点：,由图可见， 曲线与 曲线存在交点 。在该交点处， 曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，故该交点为自振点。,求自振荡振幅：,用试探法，可解得：,自振荡频率为交点处 对应的频率，即, 确定稳定性,7.3 相平面法,7.3.1 相平面的基本概念 7.3.2 绘制相轨迹的方法 7.3.3 相平面分析 7.3.4 用相平面法分析非线性系统,7.3.1 相平面的基本概念,相平面法是一种二阶微分方程的图解法。 此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统。,来描述，其中 为 和 的线性函数或非线性函数。上式所示系统的时间解可用 与 的关系图来表示，也可以 为参变量，用 和 的关系图来表示。,当时间 变化时，该点在 平面上便描绘出一条表征系统状态变化过程的相轨迹， 平面称为相平面，t作为参变量在相平面上并不出现。,设二阶系统用下面的微分方程,其对应的在相平面上的曲线为：,例：二阶系统的 和 曲线为,这种曲线称为系统在某一初始条件下的相轨迹。 由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条, 这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图。,7.3.2 绘制相轨迹的方法,如可通过积分法，直接由微分方程求解 和 的解析关系式。,若可以将 分解为 则可以两端同时求定积分,由此可解得以( ， )为初始条件的 和 的解析关系式，即相轨迹方程。,1.解析法,因为：,解析法根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程绘制相平面图。此方法仅用于简单的一二阶线性系统或分段线性系统.,例如：二阶系统系统的微分方程为,可变换成,对于无阻尼情况（ ）上式可变成,分离变量并积分，得,如当 时：,还可以直接解微分方程求解x，然后求dx/dt，并消去t。,A是由初始条件决定的积分常数。对于不同的初始条件，它表示的运动轨迹是一族同心的椭圆。,2. 等倾线法,由式,可得,方程实际给出了相轨迹在相平面上任一点处 切线的斜率。若取斜率为某一常数 ，则上式可改写为, 称为等倾线方程,由等倾线方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线，当相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。给定不同的 可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为 的短直线。由给定的初始点 便可沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线方向依次画出系统的相轨迹。,例7-3 已知系统的微分方程为 当初始条件为 、 时，绘制系统的相轨迹。,解：系统方程可改写为,令,可得相轨迹的等倾线方程,以此可作出 取不同值时的等倾线，以及等倾线上表示斜率为 的许多的许多短直线。,从A点出发顺着切线方向将各短直线光滑地连接起来，就得到了一条从A点出发的相轨迹。如图：,注意点： 1）坐标轴应选用相同； 2）在相平面的上半平面， 相轨迹的走向是由左向右；在相平面的下半平面， 相轨迹的走向是由右向左； 3）除平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交。,7.3.3 奇点和极限环,1. 奇点,相轨迹上每一点切线的斜率为,若相平面上某点满足,即有,的不定形式，则称该点为相平面的奇点。,相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交。而在相轨迹的非奇点(称为普通点)处，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。,由于在奇点处的速度和加速度都为零，故奇点与系统的平衡状态相对应。奇点一定位于相平面的横轴上。,设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为： 将上列方程改写成：,上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。从式中看出在 及 ，即坐标原点(0,0)处的斜率 ，这说明，该点二阶系统唯一的奇点。,根据特征方程根的不同形式，相平面图将以不同的型式趋向奇点，或由奇点向外发散出去。有6种类型：,s1，s2为共轭复数根，位于s平面的左半部，奇点为稳定焦点； s1，s2为共轭复数根，位于s平面的右半部，奇点为不稳定焦点； s1，s2一对实根，位于s平面的左半部，奇点为稳定节点；,s1，s2为一对实根，位于s平面的右半部，奇点为不稳定节点； s1，s2为共轭虚根，位于虚轴上，奇点为中心点； s1，s2为实根，一个位于左半平面，一个位于右半平面，奇点为鞍点。,2. 极限环,相平面图中孤立的封闭轨迹定义为极限环，或称“奇线”。极限环的位置和形式与相平面存在的奇点共同确定了二阶非线性系统的所有运动状态和性能。 根据极限环邻近相轨迹的运