1,第8章 采样控制系统分析,8.1 采样控制系统的基本概念 8.2 采样控制系统的数学基础 8.3 采样控制系统的脉冲传递函数 8.4 采样控制系统的动态性能分析 8.5 采样控制系统的稳定性分析 8.6 采样控制系统的稳态误差分析 8.7 MATLAB用于采样系统分析结,2,8.1 采样控制系统的基本概念,8.1.1 采样控制系统的基本结构 8.1.2 采样过程与采样定理 8.1.3 采样信号的复现,3,8.1.1 采样控制系统的基本结构,在离散系统中，至少有一处或几处的信号是时间的离散函数，称其为离散信号。离散信号可通过采样开关按照一定的时间间隔对连续信号进行采样而得到，此时，又称为采样信号，相应的控制系统亦称为采样控制系统。采样控制系统的一般结构如图所示。,4,离散系统中，采样开关的作用如图所示。采样开关每隔时间闭合一次，称为采样周期。采样开关每次闭合的时间为，一般，。,5,计算机控制系统中的连续误差信号通过转换器转换成数字量，经计算机处理后，再经转换器转换成模拟量，然后对被控对象进行控制。这里，若将和转换器的比例系数合并到系统的其他系数中去，则转换器相当于一个采样开关，转换器相当于一个保持器。,在系统中，如果用计算机来代替脉冲控制器，实现对偏差信号的处理，就构成了数字控制系统，也称为计算机控制系统。它是采样控制系统的另一种形式。,6,8.1.2 采样过程与采样定理,.采样函数的数学表示,连续信号e(t)经过采样后变成了一脉冲序列。 采样过程实际上可视为理想脉冲序列(t)对e(t) 幅值的调制过程。采样开关相当于一个载波为(t) 的幅值调制器，其数学表达式为:,采样函数 可通过下式求得,7,在实际控制系统中，当 t 0 时，e(t) = 0,所以有,考虑到离散信号仅在采样时刻有效，故采样函数可表示为：,8,理想采样过程,9,.采样定理,连续信号e(t)经过采样后，变成一个脉冲序列e*(t),由于脉冲序列只含有采样点上的信息, 而丢失了各采样时刻之间的信息。为了使离散信号e*(t) 不失真地复现原信号e(t) ，必须考虑采样角频率与e(t)中含有的最高次谐波角频率max之间的关系。通过对e(t) 与e*(t) 的频谱分析可知，为了复现原信号e(t) 的全部信息，要求采样角频率必须满足如下关系:,这就是采样定理，又称香农（shannon）定理，它指明了复现原信号所必须的最低采样频率。,10,8.1.3 采样信号的复现,信号的复现为了实现对受控对象的有效控制，把采样信号恢复成相应的连续信号的过程称为信号的复现。,保持器将采样信号准确地复现为原来的连续信号的装置。在采样控制系统中最简单、应用最广泛的是零阶保持器。,零阶保持器采用恒值外推原理，它把前一采样时刻的采样值一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号变为阶梯信号，在kTt ( k+1)T期间， 。,11,零阶保持器的传递函数,零阶保持器的脉冲响应为：,即：,12,8.2 采样控制系统的数学基础,8.2.1 变换的定义 8.2.2 求变换的方法 8.2.3 变换的基本定理 8.2.4 反变换 8.2.5 差分方程及其求解,13,8.2.1 变换的定义,其中 为超越函数，引入新变量,则有,称 为 的z变换，并记作,14,8.2.2 求变换的方法,.级数求和法,.部分分式展开法,根据定义式展开，即,将F(s)展开成部分分式之和的形式，然后对各个分式求z变换，其和即为F(z) 。,15,例8-4 已知 求原函数f(t)的Z变换式F(z)。,解,其中,16,8.2.3 变换的基本定理,.线性定理,2滞后定理,3. 超前定理 4.位移定理 5. 初值定理 6. 终值定理,17,8.2.4 Z反变换,由Z变换函数求其相应的离散函数，称为Z反变换，记为：,Z反变换只能求出离散函数 ， 而不能求出连续函数,1长除法,将F(z)按升幂级数展开为：,对照z变换的定义式，可知,得采样后的离散信号：,18,.部分分式法,.留数法,用部分分式法求反变换与求拉氏反变换的思路类同。由于（）的分子中通常含有变量，为了方便求反变换，通常先将（）除以，然后将（）展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上后，分别求反变换并求和。,和拉氏反变换相似，可以用留数法求反变换,19,例 求 z反变换 。,用直接除法将化成级数形式：,即,用长除法只能求得有限项值。,解1(长除法）:,20,解2(部分分式法）:,即,用部分分式法能求得任意采样时刻的值,21,8.2.5 差分方程及其求解,.差分的定义,离散函数两数之差为差分。差分又分为前向差分和后向差分，如图。,.差分方程,如果方程中除了含有f(k)以外，还有f(k)的差分，则此方程称为差分方程。一般系统的差分方程表达式为,22,.用变换解差分方程,用变换求解差分方程与用拉氏变换求解微分方程类似。,例8-16 用z变换求差分方程 。,初始条件：,解,2）求z反变换，得：,考虑初始条件后，有：,1）求差分方程的z变换，得：,23,8.3 脉冲传递函数,8.3.1 脉冲传递函数的定义 8.3.2 开环系统的脉冲传递函数 8.3.3 闭环系统的脉冲传递函数,24,8.3.1 脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数零初始条件下，离散系统或环节输出量的Z变换与输入量的Z变换之比，即,由于在实际的采样系统中，系统的输出是连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，常在输出端假设一个同步采样开关。,25,8.3.2 开环系统的脉冲传递函数,.串联环节间无采样开关,26,.串联环节间有采样开关,如：,27,.带零阶保持器的开环脉冲传递函数,其中：,28,8.3.3 闭环系统的脉冲传递函数,1） 常见结构采样系统,闭环系统脉冲传递函数为：,29,）对于不设置采样开关来对误差信号e(t)进行采样的系统，只能求出其输出的象函数C(z)，而无法求得系统的闭环系统脉冲传递函数。,30,例8-21 系统的结构如图所示，试求系统的脉冲传递函数,例8-22 系统的结构如图所示，求系统的闭环脉冲传递函数。,31,8.4 采样控制系统的动态性能分析,8.4.1 采样系统的动态响应分析 8.4.2 闭环极点的位置与动态特性的关系,32,8.4.1 采样系统的动态响应分析,分析系统的动态响应的方法: 已知系统的结构和参数-求出对应的闭环传递函数; 求出输出量的Z变换C(z)（输入给定)-求输出c(KT); 画出曲线C(KT) -分析系统的动态特性和稳态特性.,33,设:,系统输出的离散信号:,34,8.4.2 闭环极点的位置与动态特性的关系,采样控制系统的性能分析类似于连续系统，系统的输出特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定，下面主要讨论在单位阶跃信号作用下，系统的输出特性和闭环极点的关系。,设系统闭环脉冲传递函数为,设闭环极点为z1,z2,z3,zn，在单位阶跃输入时，输出的变换为,35,用部分分式法，可得：,对上式取反变换，求得输出响应为,稳态项,暂态项,36,.闭环极点为实数极点,.闭环极点为复数极点,37,8.5 采样控制系统的稳定性分析,8.5.1 平面内的稳定条件 8.5.2 劳斯稳定判据,38,8.5.1 平面内的稳定条件,在单位阶跃输入下，采样系统的闭环输出可表示为,如果系统是稳定的，则当趋于无穷大时（相当于趋于无穷大），系统输出的瞬态分量趋于零，即,采样系统稳定的充要条件是闭环脉冲传递函数的所有极点均位于Z平面以原点为圆心的单位圆内，即,39,由平面和平面的关系也可得稳定条件,其中，是复变量，即,z变量和变量的关系,s平面和z平面有着如下的对应关系：,40,8.5.2 劳斯稳定判据,在采样系统中，由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴，所以不能直接引用劳斯判据，必须进行双线性变换：,则,设,则,当在Z平面单位圆内时有,在W平面则有,实部为负，左平面,41,例8-25 已知采样控制系统闭环特征方程式,试判断系统的稳定性。,解 将 代入特征方程,整理得,列劳斯表：,第一列元素的符号变化了二次，表示方程有二个根在右半平面，故系统为不稳定。,42,8.6 采样控制系统的稳态误差分析,单位阶跃输入时系统的稳态误差 单位斜坡输入时系统的稳态误差 单位加速度输入时系统的稳态误差,43,8.6 采样控制系统的稳态误差分析,单位反馈采样系统的结构如图所示:,由终值定理可求得系统的稳态误差。,可见，采样系统的稳态误差既与输入R(z)有关，又与系统的开环脉冲传递函数及T有关。,设采样系统的开环脉冲传递函数为：,44,1. 单位阶跃输入时系统的稳态误差,设系统的输入为,其中，,系统的静态位置误差系数。,2. 单位斜坡输入时系统的稳态误差,设系统的输入为,其中，,系统的静态速度误差系数。,45,3. 单位抛物线输入时系统的稳态误差,设系统的输入为,其中，,系统的静态加速度误差系数。,