第8章 状态空间分析与综合,要求：1.理解和掌握一些基本概念； 2.掌握建立系统状态空间表达式的基本方法； 3.会进行状态空间表达式的求解； 4.掌握状态的能性与能关性的判定； 5.熟悉系统状态稳定性的分析； 6.会进行系统的综合,重点：状态空间表达式的建立与分析,难点：系统综合,将选定的系统所有状态变量及各自对时间的一次导数分别构成的矢量，称为系统的状态矢量和状态导数矢量。分别用x(t)和 表示：,8.1 系统的状态空间描述,特点：,状态空间：,或,1. 状态变量,描述系统状态的最小个数的一组变量中的一个变量。通常用x表示，对于特殊情况，可用其它。,概念：,对于n阶系统，有n个独立变量，这n个变量即构成该系统的n个状态变量。,是时间的函数；,不唯一。,3. 状态空间,状态轨迹：,以状态变量x1、.、xn为坐标轴所构成的n维空间， x(t1)在此空间中是一个点。,不同的t 构成不同的点，各点连接起来形成的曲线。,2. 状态矢量和状态导数矢量,8.1.1 状态空间表达式,例：列写图示系统的状态方程 解：电路中有2个储能元件：电感和电容， 选i和uc为状态变量，有：,令 x1=uc x2=i,注意:1、状态方程一定要是矩阵形式； 2、状态方程中不能含有输出变量。,4. 状态方程和输出方程,矩阵形式,，则,状态方程：系统的状态变量构成的一阶微分方程组,输入：u 1,u2, up 状态：x1 x2 xn 输出：y1 y2 yq,状态空间表达式：状态方程和输出方程的总称,一般形式：,5、状态空间表达式及其一般形式,输出方程：系统输出（y）与输入（u）和状态变量（x）之间的函数关系。 必须写成矩阵形式。,上例中，若选uc为输出，,则 y=x1,矩阵形式,A 系统矩阵，n阶方阵 B 控制矩阵，np阵 C 输出矩阵，qn阵 D 直接输出矩阵，qp阵（一般为0） 当q=p=1时，为SISO系统；否则为MIMO系统,若A、B、C、D均为常数矩阵，则为线性定常（时不变）系统,若A、B、C、D中任一矩阵的任一元素为时间的函数，则为线性时变系统。,其状态空间表达式的一般形式为：,若A、B、C、D中任一矩阵的任一元素为状态变量的函数，则为非线性系统。,以上是时间连续的情况，对于时间离散的情况，有：,线性离散定常（时不变）系统的状态空间表达式,线性离散时变系统的状态空间表达式,补充： 状态空间表达式的模拟结构图（状态变量图）,意义：反映输入、（各状态变量、）输出之间的信号传递关系,例1 画出如下系统的模拟结构图,例2 画出图示系统的模拟结构图,1. 由系统的物理模型建立状态空间表达式,整理获得状态空间表达式。,例8.1-1 题见教材,方法：选取状态变量，对于电网络系统:电感取电流、电容取电压；,根据物理规律或化学规律列写微分方程；,8.1.2 状态空间表达式的建立,物理模型、输入输出微分方程或传递函数、方块图（动态结构图）,2、由系统的传递函数建立状态空间表达式,传递函数或微分方程,SISO系统的传递函数的一般形式为：,状态空间表达式，,称为系统的实现 。,不唯一,若m=n,则有传递函数:,y1(n)+a1 y1(n-1)+an y1 =u,模拟结构图:,状态空间表达式：,还可以得出另外一种状态空间表达式,因此系统的状态空间表达式不是唯一的.,友矩阵,已知,，求系统的状态空间表达式,解法一：,由前面的结果可以直接写出状态空间表达式为,解法二：,由传递函数有,模拟结构图（见blackboard）,状态空间表达式为,举例,解法三：,变换传递函数得,模拟结构图（见blackboard）,状态空间表达式为,解法四：,变换传递函数得,模拟结构图（见blackboard）,状态空间表达式为,前面三种为串联型实现，后者为并联型实现,可见，同一系统状态空间表达式不同，但输入输出关系是相同的,方法:,对于 SISO 系统的实现，可由微分方程求出传递函数后再求解。,3. 由系统的微分方程建立状态空间表达式,解：见blackboard .,例： 求如下系统的实现,以一个具体的三阶系统为例来说明系统的实现问题。,也是实现问题,对于 MIMO 系统的实现，没有通用形式的解表达式，只能具体问题具体对待。,若MIMO系统有q个输出，则应有q个输入输出微分方程描述。, 在q个方程中找出导数阶数最高的输出变量， 求出该输出量的积分表达式；, 剩下的方程作与1相同的处理；, 画出模拟结构图；, 写出状态空间表达式。,方法：,举例 求下图所示系统的状态空间表达式。,补充： 由系统框图（动态结构图）出发建立状态空间表达式,可以求出系统的传递函数后再求解，但没有必要。一是繁琐，二是易错。通常直接或稍作变换后求解。, 将系统方块图变成模拟结构图；, 把每个积分器的输出作为一个状态变量；, 根据信号关系列写状态方程和输出方程。,课堂思考： 求右图所示系统的状态空间表达式。,解：见blackboard.,4. 由状态空间表达式求系统的传递函数（阵）,零初始状态,Laplace变换,令,则,G(s) 为qp 阵 当q=p=1时，为SISO系统， G(s)即为传递函数; 否则， 为MIMO系统， G(s)就为传递函数阵。,注意：除SISO可以写成,外，MIMO不能写成,举例,求系统,的传递函数。,解：,结论：系统状态的非奇异变换不改变系统的传递函数（阵）。,这是因为,若P为n阶非奇异方阵，并设,亦即,则,称为状态空间表达式的线性变换。,P为变换矩阵，有无穷多个，因而系统的状态空间表达式不唯一。,意义：选取合适的P，可使得状态空间表达式具有特定的形式，如对角标准型、Jordan标准型、能控标准型、能观标准型等。,作业：8.4,5. 状态空间表达式的线性变换,8.2 系统状态方程的求解,要求：1、掌握状态空间表达式的求解方法；,8.2.1 线性连时间系统状态方程的求解,1. 线性定常齐次状态方程及其求解,设,则,于是,对于,而,有,2、理解状态转移矩阵并熟悉其计算方法；,3、了解连续系统状态方程的离散化方法。,故,考虑,可得,定义,为系统从t0到t的状态转移矩阵,结论：各个时刻的状态为任意指定初始时刻的状态与状态转移矩阵的左乘。,2. 状态转移矩阵, 若初始时刻为0，则状态转移矩阵为eAt 或 (t) 。,特点：,(t-t0) 是时间的一元矩阵函数；, (t-t0)与t0 有关，系统的初始时刻可以任定，则状态转移矩阵不同；,其几何意义以二阶系统为例如右图所示。,为n 阶的方阵，是唯一的。仅取决于A,与B、C、D无关。,又叫矩阵指数函数。,(1) 状态转移矩阵的性质,性质1,性质2,例 8.2,设系统的状态转移矩阵,，求系统矩阵A。,解：,性质3,性质4,性质7,性质5,性质6,k为自然数,If only if AB=BA,Then,If,Then,性质8,If,Then,性质9,(2) (t) 的计算,方法1：直接法由定义计算,特点:简便，易于计算机求解，但难于有解析表达式。,方法2：Laplace 反变换法,例 已知,，求 eAt。,解：,3. 线性定常系统非齐次状态方程的解,例1：求如下系统在单位阶跃信号作用下的解。,解:,自由解,强迫解,例2：系统动态方程：,的作用下，如何,选取和初始状态 x(0)可使系统的输出恒为0?,解：,在输入,当,或,或,即,即,即,时,4. 线性时变系统的求解,其解为,称,为线性时变系统的状态转移矩阵，且,状态转移矩阵的基本性质：,作业1： 8.9 (1),作业2：,线性时变系统的状态转移矩阵计算公式：,为无穷表达式，非解析式,例 已知,，求 (t，0)。,解:,则,故,8.2.2 线性定常离散（时间）系统状态方程的求解,1. 迭代或递推法,对于 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k), x(0),有 x(1)=Gx(0)+Hu(0),x(2)=Gx(1)+Hu(1)= G2x(0)+GHu(0)+Hu(1),x(3)=Gx(2)+Hu(2)= G3x(0)+G2Hu(0)+GHu(1)+ Hu(2),由此可以推得,x(k)=Gkx(0)+G k-1Hu(0)+G k-2Hu(1)+.+ GHu(k-2)+ Hu(k-1),即,若初始时刻为hT，则,定义 (k-h)=Gk-h 称为离散系统hT初始时刻的状态转移矩阵,特点： 1、自由解+强迫解；,2、只与本次采样时刻之前的各次采样时刻的输入大小有关，而与本次的输入大小无关；,3、适于计算机求解。,2、z变换法,x(k+1)=G x(k)+Hu(k) , x(0),z X(z)-z x(0) =GX(z)+HU(z),X(z) = (z I - G)-1 z x(0) + (z I - G)-1 HU(z),x(k) = Z-1(z I- G)-1 z x(0) + Z-1(z I- G)-1 HU(z), (k)=Gk= Z-1(z I -G)-1z ,8.2.3 线性连续系统状态空间表达式的离散化,目的：计算机求解的需要；计算机控制的需要。,1. 线性定常系统的离散化,对于,令 t=(k+1)T，t0= kT，有,假设kT(k+1)T期间u(t)不变为u(k)，则,记为,其中,即,近似离散化,时,当,于是在t=kT时，可把状态方程,写成,即,故,例: 试将,分别在T=0. 5s和0. 05s时离散化。,解：,于是,原状态方程离散化为,当T=0. 5s时,当T=0. 05s时,2. 线性时变系统的离散化,其中,对于分段连续的u(t),能在t0,tf内使系统由某一初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(tf),则称此初始状态是能控的。若初始状可以任意且是能控的，则称系统是完全能控的。若任意的u(t)能将系统的状态由0初始状态转移到任意终端状态x(tf)，则称系统是完全能达的。,8.3 线性控制系统的能控性和能观性,要求：1、理解能控性和能观性的概念； 2、掌握能控性和能观性的判别方法； 3、熟悉状态空间表达式的结构分解； 4、了解传递函数的最小实现。,8.3.1 能控性及其判定,注重输入信号对状态信号的影响，与输出无关。,1. 线性连续定常系统的能控性及其判定,1）定义,简单地说，系统的各个状态变量都受输入信号的控制，即其解应有强迫解。,对于分段连续的u(t),能在t0,tf内使系统任一初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(tf),则称系统是输出完全能控的。,说明, 可以由x(0) x(tf)= 0 判定； 线性连续定常系统的能达性与能控性是一致的； 与输出无关； u(t)不唯一。,2）判据,状态完全能控判据：系统能控的充要条件是 Qc=B AB A2B . An-1B 的秩为n.,能控矩阵 n (np),即：,例 判定系统,的能控性。,解：,于是,rank(Qc)=3,故系统状态能控。,与线性连续定常系统的相同，强调t0初始状态。,2. 线性连续时变系统的能控性,输出完全能控判据：输出能控的充要条件是输出能控矩阵 D CB CAB CA2B . CAn-1B 的秩为q.,例 判定系统,的状态能控性和输出能控性。,解：,rank(Qc)=1,故系统状态不完全能控。,其秩为1，,故系统输出能控。,非奇异。,格拉姆矩阵,状态能控的充要条件：,3、离散（时间）定常系统的能控性,能将x(k) x(l)=0 （l是1的有限数），称为系统是能控的。,对于,，若存在u(k)、 u(k +1)、 u(l-1),状态能控的充要条件：,8.3.2 系统的能观性及其判定,衡量输出对状态的反映能力。,1.能观性的定义,如果对于任意给定