第一章数据结构与算法,1.1算法 1.2数据结构的基本概念 1.3线性表及其顺序存储结构 1.4栈和队列 1.5线性链表 1.6树与二叉树 1.7查找技术 1.8排序技术,1.1算法,1.1.1 算法的基本概念 算法：是指解题方案的准确而完整的描述。 算法不等于程序，也不等于计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。 1、算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。,1.1算法,特征包括： （1）可行性； （2）确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不允许有模棱两可的解释，不允许有多义性； （3）有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，取能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行时间的含义； （4）拥有足够的情报。,1.1算法,2、算法的基本要素： 一是对数据对象的运算和操作； 二是算法的控制结构。 基本运算和操作包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。 一个算法一般都可以用顺序、选择、循环三种基本控制结构组合而成。,1.1算法,1.1.2算法的复杂度 算法时间复杂度和算法空间复杂度。,1.1算法,1.算法的时间复杂度 算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。 算法的工作量用算法所执行的基本运算次数来度量，而算法所执行的基本运算次数是问题规模的函数，即 算法的工作量=f(n) 最坏情况复杂性：是指在规模为n时，算法所执行的基本运算的最大次数。（例：O（n2）) 常见的时间复杂度，按数量级比较排列关系为：,1.1算法,2.算法空间复杂度 算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。 一个算法所占用的存储空间包括算法程序所占的空间、输入的初始数据所占的存储空间以及算法执行过程中所需要的额外空间。,1.2数据结构的基本概念,数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。 数据结构研究的三个方面： （1）数据集合中和数元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构； （2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构； （3）对各种数据结构进行的运算。 讨论以上问题的主要目的是为了提高数据的效率。所谓提高数据处理的效率，主要包括两个方面：一是提高数据处理的速度，二是尽量节省在数据处理过程中所占用的计算机存储空间。,数据的逻辑结构包含： （1）表示数据元素的信息； （2）表示各数据元素之间的前后件关系。 数据的逻辑结构分为：线性结构与非线性结构 线性结构条件： （1）有且只有一个根结点； （2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。 非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。,数据的逻辑结构,数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构（也称数据的物理结构）。 数据的存储结构有顺序、链接、索引等。,数据的存储结构,1.3 线性表及其存储结构,1.3.1 线性表的基本概念 线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。 学生情登记表,在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。 非空线性表的结构特征： （1）有且只有一个根结点a1，它无前件； （2）有且只有一个终端结点an，它无后件； （3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。结点个数n称为线性表的长度，当n=0时，称为空表。,线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点： （1）线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的； （2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。 ai的存储地址为：ADR(ai)=ADR(a1)+(i-1)k,，ADR(a1)为第一个元素的地址，k代表每个元素占的字节数。,线性表的顺序存储结构,顺序表的基础要点,1、线性表是具有n个数据元素的有限序列。 2、线性表的顺序存储结构具有三个弱点： 在插入和删除时，需移动大量元素 由于难以估计，必须预先分配较大的空间 表的容量难以扩充 (如何解决？） 3、顺序存储结构通过元素的相对存储地址来表示元素之间的关系 4、线性表顺序存储的优点是可随机存取元素。 5、顺序表中逻辑上相邻的元素的物理位置必定紧邻。 6、顺序表是一种随机存取的存储结构。 7、在顺序表中插入或删除一个元素时，需要平均移动表的一半元素，具有移动的元素个数与该元素的位置有关。 8、在长度为n的顺序表中插入一个元素的时间复杂度为O(n)，删除一个元素的时间复杂度为O(n)。,线性表的链式存储结构是指用一组任意的存储单元（可以连续，也可以不连续）存储线性表中的数据元素。因此，链表中结点的逻辑次序和物理次序不一定相同。为了能正确表示数据元素间的逻辑关系，对于每个数据元素不仅要表示它的具体内容，还要附加一个表示它的直接后继元素存储位置的信息。这个信息称为指针(pointer)或链(link)。这两部分组成了链表中的结点结构：,指针域，用来存放结点的直接后继的地址,数据域，用来存放结点的值,1.4 线性表的链式存储结构-链表,术语 表示每个数据元素的两部分信息组合在一起被称为结点； 其中表示数据元素内容的部分被称为数据域（data）； 表示直接后继元素存储地址的部分被称为指针或指针域（next）。,单联表结构示意图,数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。 结点由两部分组成：（1）用于存储数据元素值，称为数据域；（2）用于存放指针，称为指针域，用于指向前一个或后一个结点。 在链式存储结构中，存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数据元素之间的逻辑关系可以不一致，而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。 链式存储方式即可用于表示线性结构，也可用于表示非线性结构。,链式存储结构的特点 （1）线性表中的数据元素在存储单元中的存放顺序与逻辑顺序不一定一致； （2）在对线性表操作时，只能通过头指针进入链表，并通过每个结点的指针域向后扫描其余结点，这样就会造成寻找第一个结点和寻找最后一个结点所花费的时间不等，具有这种特点的存取方式被称为顺序存取方式。,循环链表(circular linked list) 循环链表是表中最后一个结点的指针指向头结点，使链表构成环状 特点：从表中任一结点出发均可找到表中其他结点，提高查找效率,例题讲解,链表不具有的特点是 A) 不必事先估计存储空间 B) 可随机访问任一元素 C) 插入删除不需要移动元素 D) 所需空间与线性表长度成正比 用链表表示线性表的优点是 A) 便于随机存取 B) 花费的存储空间较顺序存储少 C) 便于插入和删除操作 D) 数据元素的物理顺序与逻辑顺序相同 长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为 【1】 。,线性表L=(a1,a2,a3,ai，an)，下列说法正确的是 A) 每个元素都有一个直接前件和直接后件 B) 线性表中至少要有一个元素 C) 表中诸元素的排列顺序必须是由小到大或由大到小 D) 除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一个且只有一个直接前件和直接后件 在单链表中，增加头结点的目的是 A) 方便运算的实现 B) 使单链表至少有一个结点 C) 标识表结点中首结点的位置 D) 说明单链表是线性表的链式存储实现,循环链表的主要优点是 A) 不再需要头指针了 B) 从表中任一结点出发都能访问到整个链表 C) 在进行插入、删除运算时，能更好保证链表不断开 D) 已知某个结点的位置能容易的找到它的直接前件 线性表的顺序存储结构和线性表的链式存储结构分别是 A) 顺序存取的存储结构、顺序存取的存储结构 B) 随机存取的存储结构、顺序存取的存储结构 C) 随机存取的存储结构、随机存取的存储结构 D) 任意存取的存储结构、任意存取的存储结构,下列对于线性链表的描述中正确的是_。 A）存储空间不一定是连续，且各元素的存储顺序是任意的 B）存储空间不一定是连续，且前件元素一定存储在后件元素的前面 C）存储空间必须连续，且前件元素一定存储在后件元素的前面 D）存储空间必须连续，且各元素的存储顺序是任意的 下列叙述中正确的是_。 A）一个逻辑数据结构只能有一种存储结构 B）数据的逻辑结构属于线性结构，存储结构属于非线性结构 C）一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构不影响数据处理的效率 D）一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率,栈,是一种特殊的线性表。其特殊性在于限定插入和删除数据元素的操作只能在线性表的表尾端进行。如下所示： 进行插入和删除的表尾端是浮动端，通常被称为栈顶， an 为栈顶元素， 并用一个“栈顶指针”指示；而表头端是固定端，通常被称为栈底， a1 为栈底元素，。我们经常将栈用下图的形式描述：,a1, a2, a3, ., an 插入和删除端,结论：后进先出（Last In First Out），简称为LIFO线性表。 举例1：家里吃饭的碗，通常在洗干净后一个一个地落在一起存放，在使用时，若一个一个地拿，一定最先拿走最上面的那只碗，而最后拿出最下面的那只碗。 举例2：在建筑工地上，使用的砖块从底往上一层一层地码放，在使用时，将从最上面一层一层地拿取。,栈的基本运算,栈的基本运算： （1）插入元素称为入栈运算； （2）删除元素称为退栈运算； （3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化,栈顶指针和栈中元素之间的关系,A,B,C,D,E,top 指向栈顶元素,栈的顺序存储及运算,栈的链式存储 若是栈中元素的数目变化范围较大或不清楚栈元素的数目，就应该考虑使用链式存储结构。人们将用链式存储结构表示的栈称作“链栈”。链栈通常用一个无头结点的单链表表示。如图所示。 由于栈的插入删除操作只能在一端进行，而对于单链表来说，在首端插入删除结点要比尾端相对地容易一些，所以，我们将单链表的首端作为栈顶端，即将单链表的头指针作为栈顶指针。,队列及其基本运算,队列(Queue)也是一种运算受限的线性表。它只允许在表的一端进行插入，而在另一端进行删除。允许删除的一端称为队头(front)，允许插入的一端称为队尾(rear)。 例如：排队购物。操作系统中的作业排队。先进入队列的成员总是先离开队列。因此队列亦称作先进先出(First In First Out)的线性表，简称FIFO表。,下图是队列的示意图： a1 a2 an 插入端和删除端都是浮动的。通常我们将插入端称为队尾，用一个“队尾指针”指示；而删除端被称为队头，用一个“队头指针”指示。 结论：先进先出（First In First Out），简称为FIFO线性表。,出队,入队,队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。Rear指针指向队尾，front指针指向队头。 队列是“先进行出”（FIFO）或“后进后出”（LILO）的线性表。 队列运算包括（1）入队运算：从队尾插入一个元素；（2）退队运算：从队头删除一个元素。,队列基本运算,队列的顺序存储结构 实现：用一维数组实现sqM,J1,J2,J3,设两个指针front,rear,约定： rear指示队尾元素； front指示队头元素前一位置 初值front=rear=-1,空队列条件：front=rear 入队列：sq+rear=x; 出队列：x=sq+front;,存在问题 设数组维数为M，则： 当front=-1,rear=M-1时，再有元素入队发生溢出真溢出 当front-1,rear=M-1时，再有元素入队发生溢出假溢出 解决方案：循环队列（掌握计算队列元素个数的方法） 基本思想：把队列设想成环形，让sq0接在sqM-1之后，若rear+1=M,则令rear=0;,实现：利用“