第3章 立体的投影 知识点 1.三视图及投影规律 2.基本体的投影 3.截交线 4.相贯线 要求 1.熟练掌握三视图的投影规律； 2.掌握基本体的投影特性、投影图的画法以及表面取点的作图方法； 3.掌握截交线的性质和作图方法，能够正确画出切割体的三视图； 4.掌握相贯线的性质和作图方法，能正确分析并画出相贯体的三视图。 一般的机件都可以看作由一些简单的几何形体按某种方式组合而成，这些简单的几何形体称之为基本立体。本章将在掌握点、线、面投影的基础上，进一步学习基本立体的投影，以及切割体、相贯体的投影。,3.1 三视图的形成及投影规律 3.1.1三视图的形成,图3.1 三视图的形成 按照国家标准机械制图的规定，工程上把用正投影法所绘制出的图形叫做视图。在三面投影体系中，可得到物体的三个视图，如图3.1a所示，分别称为： 主视图正面（V）投影 俯视图水平（H）投影 左视图侧面（W）投影 三视图的相对位置关系是：以主视图为准，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。如图3.1b所示。在绘制物体的三视图时，必须按此位置关系配置。,(a),(b),3.1.2三视图的投影规律 如图3.1所示，在物体的三视图中，主视图和俯视图都反映物体的长度；主视图和左视图都反映物体的高度；俯视图和左视图都反映物体的宽度。因此，三视图之间存在如下的投影关系： 主、俯视图长对正； 主、左视图高平齐； 俯、左视图宽相等。 即“长对正、高平齐、宽相等”是三视图的投影特性，人们常常称之为“三等”关系。它不仅适用于整个物体，也适用于物体的局部，乃至点、线、面的投影。 注意：俯、左视图中宽度的方向。 3.1.3三视图与物体方位的关系 物体有前后、左右、上下六个方位，每个视图只能反映物体两个方向的位置关系，如图3.1b所示。主视图反映物体的左右和上下位置，俯视图反映物体的左右和前后位置，左视图反映物体的上下和前后位置。 注意：俯、左视图中，靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。,3.2 基本立体的投影及其表面取点 一般的机件，都可以看作由一些简单的几何形状按某种方式组合而成，这些简单的几何形状称之为基本立体。基本立体按照其表面性质，可分为平面立体和曲面立体两类。本节将在掌握点、线、面投影知识的基础上，进一步学习基本立体的投影的画法，以及在其表面取点的方法。 3.2.1平面立体的投影及其表面上取点 表面均为平面的基本立体称为平面立体。常见的平面立体有棱柱和棱锥。 1棱柱 （1）棱柱的投影 如图3.2a所示为正六棱柱，它的上、下底面为正六边形，六个侧面为相等的矩形，六条侧棱互相平行且与底面垂直，正六棱柱是一个前后、左右对称的平面立体。,图3.2 正六棱柱的投影及表面取点,为了作图方便，将正六棱柱放置成如图3.2b所示的轴线与H面垂直的位置，上下底面与H面平行，为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影为直线；正六棱柱的六个侧面中，前后两个是正平面，正面投影反映实形；其余四个侧面均为铅垂面；六条侧棱均为铅垂线。图3.2c为正六棱柱的三视图。 棱柱的投影特性是：与轴线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映侧面的实形或类似形。 作图步骤如图3.3所示：,(a) 布置图面，画作图基准线(中心线、底面基准线等),(b) 画俯视图,(a)根据六棱柱的高，按投影关系画出主视图,根据主视图及俯视图按投影关系画出左视图， 最后检查加深图线,图3.3 正六棱柱三视图的作图步骤,（2）在棱柱表面上取点 在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。正棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点时，均可利用平面积聚的原理作图，并表明可见性，如图3.2c所示。 棱柱表面上的点的可见性判断的原则是：凡位于可见表面上的点，其投影为可见，否则为不可见。,2.棱锥 （1）棱锥的投影 图3.4所示为一正三棱锥，它的底面为一正三角形，三个侧面为全等的等腰三角形，三条侧棱相交于锥顶S。,图3.4 正三棱锥的投影,将正三棱锥放置成如图3.4b所示的轴线垂直于H面的位置。其底面为水平面；其中侧面SAB、SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形；侧面SAC为侧垂面。底边AB、BC为水平线，CA为侧垂线；棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。,棱锥的投影特性是：与棱锥底面平行的投影面上的投影为多边形，且反映棱锥底面的实形。在该投影面上，棱锥侧面的投影均为三角形；其余两面投影为一个或几个三角形线框，其中棱锥底面的投影为一条直线，侧面的投影或积聚为直线，或是类似形。 作图时，先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线的同面投影，即得正三棱锥的三面投影。 （2）在棱锥表面上取点 组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得。如图3.4c中，已知侧垂面SAC上点N的水平投影n，可利用平面投影的积聚性直接找到n”。 对属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线的方法求得。如图中，已知立体表面上的点M的正面投影m，求其它两面投影。因点M所在表面SAB为一般位置平面，所以可以利用辅助线法来作图。,图3.5 正三棱锥表面取点,(a),(b),方法一：过M点在SAB上作AB的辅助平行线M，即1mab，再作1mab，求出m，再根据m、m求出m（如图3.5a）所示； 方法二：过锥顶S和点M作一辅助线S，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。,3.2.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线作回转运动所形成。常见的回转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。 1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位置称为素线。,图3.6 圆柱的投影,(a),(b),(c),(2)投影分析 如图3.6b所示，当圆柱的轴线垂直于H面时，圆柱面的水平投影积聚为圆，圆柱面上任意点和线对H面的投影均积聚在该圆上，圆柱上下底面的投影为该圆平面；圆柱的V面投影和W面投影是由上下底面投影积聚线和圆柱面的转向轮廓线组成的两个完全相等的矩形线框。 (3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其次画出投影为圆的圆的视图俯视图，最后根据圆柱高及投影的外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线应采用细点画线画出，且要超出轮廓线25 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性，其底面在另两投影面的投影有积聚性。因此，在圆柱表面上取点，可用积聚性作图。 如图3.7(a)所示，已知圆柱面上A点的正面投影a和B点和水平投影b，求作它们的其余投影,并判断可见性。,图3.7 圆柱表面取点,分析： 根据已知条件a和b不可见，可知A点在后半个圆柱面上；B点在下底面上。 作图: (1)利用圆柱面的水平投影具有积聚性,可由(a)作垂线直接求出a，然后根据点的两投影求出a“。由于A点在左半部分圆柱面上，因此a“为可见。 (2)利用下底面的正面投影具有积聚性，可由(b)作垂线直接求出b,然后根据点的两投影求出b“。b“不需判断可见性。,2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。,图3.8 圆锥的投影,(a),(b),(c),(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影是相同的等腰三角形，水平投影为圆。因为圆锥面上所有素线都倾斜于水平面,故水平投影没有积聚性。在正面投影和侧面投影中，等腰三角形的底边是圆锥底面的投影，两腰是转向轮廓线的投影。正面投影的转向轮廓线是最左和最右两条素线SA和SB，侧面投影的转向轮廓线是最前和最后两条素线SC和SD，它们在其余两投影面上的位置与轴线或圆的对称中心线重合。 (3)画法 一般先画出轴线和对称中心线的投影，然后画出圆锥投影为圆的投影，再根据投影关系画出圆锥的另两个投影，得到圆锥的三视图（图3.8c）。 (4)圆锥表面上取点 轴线处于特殊位置的圆锥，只有底面的投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。因此，在圆锥表面上取点，除圆锥面转向轮廓线上的点和底圆平面上的点可直接求出之外，其余点的投影，则必须用辅助线法（亦称素线法）或辅助圆法（亦称纬圆法）作出，并表明可见性,图3.9圆锥面上取点,如3.9a所示，已知圆锥面上一点M的正面投影m，求作它的水平投影m和侧面投影m“，可用两种方法求解。 方法一：辅助素线法 如图3.9b所示，过锥顶S和锥面上点M作一素线S,作出其正面投影s1和水平投影s1 ,就可求出M点的水平投影m，然后由m和m求得m“。 方法二：辅助圆法 如图3.9c所示，在圆锥面上过M点作垂直于轴线的纬圆，则点M的另两投影必在该纬圆的同面投影上。 3.圆球 （1）圆球的形成 如图3.10a所示，球面可以看成是由一母线圆绕其直径旋转而成。,图3.10 圆球的投影,(a),(b),(c),(2) 投影分析 圆球的三面投影均为与球直径相等的圆，它们分别是球的三个投影的转向轮廓线。正面投影圆是前半球和后半球分界圆A（正面投影的转向轮廓线）的投影；水平投影圆是上半球和下半球分界圆 B(水平投影的转向轮廓线)的投影；侧面投影圆是左半球和右半球分界圆C(侧面投影的转向轮廓线)的投影。这三个圆的其余两投影均与中心线重合，不必画出。 (3) 画法 画圆球的三面投影时，可先画出确定球心的相互垂直的回转轴线的三个投影；再以球心为圆心画出三个圆。 (4) 圆球面上取点,图3.11 圆球表面取点,(a),(b),由于圆球的三个投影均无积聚性。所以在圆球表面上取点，除属于转向轮廓线上的特殊点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，都须用辅助圆法作出，并表明可见性。 如图3.11a所示，已知圆球表面上一点M的正面投影m,求其水平投影m和侧面投影m”。根据m的位置和可见性，可知M点位于前半球的左上部位。为找出M点的水平投影m，可过M点作纬圆（正平圆、水平圆、侧平圆）求解。如过m作纬圆与圆球正面投影（圆）交于点1、2，以12为直径在水平投影上作水平圆，则点M的水平投影m必在该纬圆上，再由m和m求出m”，m和m”均为可见。又如图3.11b所示给出了根据球面上点N和K的水平投影n和k，求出n、n”和k、k”的作图过程，请自行分析。 4.圆环 （1）圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线，绕与其共面但不通过圆心的轴线回转而形成，如图3.12所示。其中，外半圆ABC回转形成外环面，内半圆ADC回转形成内环面。,图3.12 圆环的投影,(2) 投影分析 圆环的正面投影和侧面投影形状完全一样，水平投影是三个同心圆（其中有一个细点画线圆）。 水平投影为三个同心圆，其中的细点画线圆是母线圆心轨迹的水平投影；内外粗实线圆表示圆环上半部（可见部分）与下半部（不可见部分）的分界线的投影，也即水平投影的转向轮廓线。 正面投影是由平行于正面的两个素线圆和上下两条轮廓线组成，它们是内外环面分界处的圆的投影。因为圆环的内环面从前面看是看不见的，所以素线圆靠近轴线的一半应该画成虚线。