,常微分方程,第 9 章,主讲教师：,第 9 章 常微分方程,9.3 二阶线性微分方程解的结构,1,2,4,二阶齐次线性微分方程解的结构,二阶非齐次线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,证毕,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,代入方程左边, 得,(叠加原理),若函数,为任意常数）,证,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,容易看出,线性相关，,线性无关,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),，,代入初始条件得,原方程的特解为,该方程的通解为,解,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,则,是非齐次方程的通解 .,设,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,解,微分方程解的结构,齐次线性微分方程的通解结构,非齐次线性微分方程的通解结构,1.下列函数组哪些是线性相关的？哪些是线性无关的？,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,2验证,及,都是方程,的解，并写出该方程的通解。,3验证,是微分方程,的通解,4证明：若,是线性方程,的解，则,并举例说明。,为任意常数）也是该方程的解，,5若,是线性齐次方程,的解，则,是,的解。,6已知方程,的两个特解为,试求该方程满足初始条件,的特解。,7已知,都是方程,的通解。,的解，求此方程,8已知,和,齐次方程的两个特解，而这非齐次线性微分方程本身,是二阶非齐次线性微分方程所对应的,一个特解为,并写出这个方程。,，求此二阶非齐次线性微分方程的通解，,