广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 个力 ， ， ， ，其相应位移分别为 ， ， ， 。在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形能。这样，变形能应为广义力 的函数,卡式定理的推导 改变加力的次序,(3)这种加载方式下梁的变形能为,(1)先施加 ：在施加 时，其作用点沿 方向的 位移为 ，梁的变形能为 ；,(2)再施加 ， ， ， 时，尽管梁上已有了 ，但是 ， ， ， 的效应并不因此而改变， 个力所做的 功仍为式(1) 。不过，在施加 ， ， ， 过程中， 在 的方向（即 的方向）上又发生了位移 ，常 力 做功 。故在施加 ， ， ， 时，总共 做功为 ；,比较(2)(3)式,梁的变形能对某一载荷 的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理，也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他线弹性结构也是适用的。,1 为广义力， 为其相应的广义位移。,卡氏第二定理只适用于线性弹性体；,一个力,一个线位移,一个力偶,一个角位移,一对力,相对线位移,一对力偶,相对角位移,卡式定理的应用,（a）轴向拉伸与压缩,（b）扭转,（c）弯曲,例11-7 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为 ，试用莫尔定理计算自由端 B 截面的挠度 和转角 。,解：,(1)计算 B 截面挠度,首先在 B 截面处添加一个力 ，在载荷 和 共同作用下梁的弯矩方程,向下,（1）计算 B 截面挠度,（2）计算 B 截面转角,令,同理，在 B 截面处添加一个力偶 ，在 和 共同作用下梁的弯矩方程,向下,令,（2）计算 B 截面转角,顺时针转向,顺时针转向,