第五章 基本变形应力计算与强度设计,第一节 杆件的基本变形 第二节 轴向拉伸（压缩）正应力与强度设计 第三节 圣维南（SaintVenant）原理和 应力集中 第四节 轴扭转切应力 第五节 轴扭转的强度设计,第六节 平面弯曲横截面的正应力 第七节 弯曲正应力强度设计 第八节 矩形截面梁弯曲切应力 第九节 薄壁截面梁的弯曲切应力 第十节 弯曲中心 第十一节 连接构件与连接处的强度设计,1.轴向拉伸或压缩,杆件受到平衡力系作用，且该力系内所有力的作用线均与杆的轴线重合，最简单的情况如下图a或图b所示，杆件变形将是沿轴向的伸长或缩短，同时还伴生侧向的缩、胀变形，此种受力与基本变形称为轴向拉伸或压缩。,第一节 杆件的基本变形,杆件受到平衡力偶系作用，且该力偶系内的各力偶作用平面均与杆件的横截面重合，最简单的情况如下图所示。,2.扭转,此时杆件的各横截面将会绕轴线发生相对转动，如果杆件的横截面为圆形或圆环形，横截面不会发生翘曲，否则将伴生横截面翘曲变形，此种受力与基本变形的方式称为扭转。,3.平面弯曲,杆件受到位于该对称面内广义平衡力系（可能为分布力、集中力或集中力偶）作用，且其中的分布力或集中力均沿铅直向时，杆件的轴线将在该对称面内被弯曲为一条平面曲线，此种受力与基本变形的方式称为平面弯曲，如下图所示。,4.剪切,杆件受到数值相等，方向相反并垂直于杆轴、相距很近的一对力（F、F）作用时，两个力（F、F）之间的材料发生相对错动，如下图。,此种受力与基本变形称为剪切。,一、正应力计算,如图所示的轴向拉伸杆件，横截面的正应力和相应的轴力FN的关系为:,第二节 轴向拉伸（压缩）正应力与强度设计,N,为了观察和分析上图所示杆的变形，加载前在其表面上画出两条横线ab、cd，两条纵线ef、gh。,a,d,c,b,g,f,h,e,观察变形后，提出平面假设：横截面在受力变形仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。,根据均匀连续公设，各处的材料的力学性能相同，所以横截面各点的正应力等于一个常数，可有,N,二、正应力强度设计,杆件安全工作应使其工作应力小于或等于许可应力，即,上式建立了轴力、截面积和许可应力之间的关系，称为强度条件。利用上式可解决强度校核、截面设计和许可载荷计算等三类问题，通常叫作强度设计。,一、圣维南原理,如图a为一个承受拉伸的杆件，为了考查加载方式对应力分布规律的影响，在杆件的表面画上致密的网格图，然后令其分别承受单载荷轴向拉伸和静力等效的双载荷轴向拉伸。,第三节 圣维南原理和应力集中,图b、c分别是由拉伸试验得到的单载荷和双载荷作用变形前、后的杆端区域网格图（其中虚实线分别表示变形前、后的网格图）。数值模拟计算也得到类似的图形。,由图b、c可以看出，杆端载荷的作用方式，将显著地影响作用区附近的应力分布规律，但距杆端较远处，上述影响逐渐消失，应力趋于均匀，其影响深度和12倍的横向尺寸相当，此即为圣维南原理。,二、应力集中,由于构件截面尺寸剧烈变化引起的应力局部升高现象称为应力集中。,一、平截面假设,取直径为D=2R的等截面圆轴。为了观察和分析其扭转变形，在其表面画上很多母线方向的纵向线和环向线，如图a所示。受扭转外力偶m作用后，其变形如图b所示。,第四节 轴扭转切应力,1) 各纵向线较变形前均倾斜了相同的角度R，但仍为直线。 2) 各环向线的形状、大小、彼此之间的距离均不改变，但各绕轴线转过一定的角度。 3) 纵向线和环向线所围成的曲面矩形，变形后成为曲面菱形。,主要现象如下：,二、横截面的切应力,1.几何关系,单元体abcd变形后的切应变为,单元efgh变形后的切应变为,2.物理关系,由剪切胡克定律可知，当最大切应力小于剪切比例极限时，有如下关系,上式表明圆轴横截面的切应力沿半径线性分布，如图所示。,3.静力学关系,将上述切应力对横截面圆心取矩，应等于轴矩MT,于是,(单位长度轴转角),(横截面上的切应力),圆轴扭转的强度条件为,第五节 轴扭转的强度设计,式中WT=IP/Pmax,上式可以用来解决强度校核、截面设计及许可载荷计算等三种类型的问题。需要指出的是承受扭转的圆轴往往对刚度尚有要求，将在第六章研究。此外，圆轴扭转时还常伴有弯曲变形，此类问题属于组合变形，将在第八章研究。,一、纯弯曲梁的平截面假设,第六节 平面弯曲横截面的正应力,为了观察纯弯曲梁的变形规律，在梁表面画上纵向线和横向线，然后加载使梁发生纯弯曲变形，如图a所示。,a),变形后可以发现如下情况： 1）各纵向线变成弧线，下部的纵向线伸长，上部的纵向线缩短，彼此之间的距离并不改变。 2）各横向线仍保持为直线，尽管相互之间转过了一个角度，但仍垂直于变形后的纵向弧线。,根据以上变形情况，提出分析正应力分布规律的平截面假设： 1）变形前组成横截面的物质点，变形后位于同一个倾斜的平面内，但仍与变形后的纵向线（纵向纤维层）相互垂直。 2）梁内位置不相同的各水平纵向纤维层发生拉伸或压缩变形，彼此并不挤压。,二、纯弯曲梁的正应力,根据图b考察变形前与中性层O1O2相距y的材料层bb，变形后成为弧线bb。,1.几何关系,bb和bb长度分别为,2.物理关系 根据平截面假设，各材料层互不挤压，处于单向或压缩状态。,（b）,3.静力学关系 正应力构成垂直于横截面的分布力系，其主矢即为横截面的轴力FN，注意到弯曲变形轴力为零的条件，应有,由此可知中性轴是过截面形心的水平轴。,横截面的正应力对z轴之矩，应等于截面内的弯矩M,将上式代入式（b），得到,或,第七节 弯曲正应力强度设计,当y=ymax时，有,式中Wz=Iz/ymax称为抗弯截面系数。,正应力强度条件为 max 可用于计算弯曲强度的三类问题（强度校核，设计截面，计算许可载荷）。,第八节 矩形截面梁弯曲切应力,对于横力弯曲问题，由于截面上有剪力存在，因而横截面上应有切应力。,关于切应力分布规律的假设如下：,1）在横截面的两侧边缘处，切应力的方向均与周边相切，即沿铅直方向。 2）在横截面的铅直向对称轴y轴处，切应力的方向只可能沿铅直方向。,矩形截面梁，横截面上弯曲切应力,式中 ，为待求切应力(y)处一侧面积对中性轴的静矩，由图可知 即为阴影面积（部分截面）关于中性轴的静矩，在数值上也等于非阴影面积对中性轴的静矩，即,表明横截面切应力沿高度呈抛物线分布，方向与剪力FQ相同。在y=h/2处，=0；在y=0处,第九节 薄壁截面梁的弯曲切应力,关于开口薄壁杆件弯曲切应力的如下假设应是正确的：,1）横截面切应力的方向应与截面中线相切。 2）横截面切应力沿壁厚方向应是均匀的。,在图a所示梁距自由端x处用相距dx的两个横截面和一个纵截面从杆件中取出微体abcd，如图b所示，ab棱边为自由棱边。 在微体abcd的bc和ad界面上有正应力和切应力，根据切应力互等定理在棱边cd上也有切应力。,开口薄壁截面梁的弯曲切应力为,分布规律如图c所示，注意此时切应力的合力并不通过形心C。,第十节 弯曲中心,开口薄壁截面梁发生横力弯曲时，只有当载荷通过弯曲中心且与截面形心主惯性轴方向一致时，梁才发生平面弯曲。,如图a所示槽形薄壁截面，翼缘的厚度为t，长度为b，腹板的厚度为d，高度为h。该截面的形心为C，yCz是此槽形截面的形心主惯性轴。,翼缘的上切应力为,腹板上的切应力为,若要使杆件不发生扭转，截面内应无扭矩MT存在。注意到上、下翼缘切应力恰成一逆时针转动的力偶，因而剪力FQ对图a中B点之矩应与上述力偶等值。,式中，e为弯曲中心A和腹板中心B点之间的距离。,常用开口薄壁截面弯曲中心的位置表,第十一节 连接构件与连接处的强度设计,一、剪切,如图所示铆接结构，铆钉受力如图a所示，发生如图b所示的变形，m-m截面称为剪切面，铆钉沿剪切面发生错动变形。剪切面内的剪力FQ仍可由截面法得到，由平衡条件可知剪力FQ=FO,假定切应力均匀的分布在剪切面上，即=FQ/A，式中A为剪切面积。相应的强度条件为,二、挤压,在铆钉横截面发生剪切的同时，铆钉与钢板因受力相互压紧产生挤压。两构件的接触面叫挤压面，挤压面上的应力叫挤压应力。 假设挤压应力在挤压面的计算面积上均匀分布，可以得到名义挤压应力bs,式中，Fbs为挤压力；Abs为挤压面的计算面积。,