1,14.2、第二类拉格朗日方程,本节主要内容: 1、第二类拉格朗日方程; 2、拉格朗日动势;,1、第二类拉格朗日方程,(b),(a),2,记作:,(b),(a),图b:,设系统是具有n个自由度的定常质点系(以n=2为例);,3,4,5,6,（,该式称为第二类拉格朗日方程或拉格朗日方程;很显然,对于一个质点系而言,有多少个自由度,就可以列出多少个相互独立的拉格朗日方程,求解多少个未知量; 第二类拉格朗日方程的显著特点:不涉及惯性力,不需要进行加速度分析,只涉及系统的总动能和能作功的力;,7,例14.2-1 重新求解例14.1-3所示问题;,解 1) 确定系统参数: 轮4/轮5转角;,，,2) 求系统动能;,3) 确定广义力;,8,4) 列拉格朗日方程;,5) 联立求解;,9,例14.2-2 重新求解例题14.1-1所示问题;,2) 求系统动能;,O点:,10,3) 确定广义力;,4) 列拉格朗日方程;,5) 联立求解;,11,评论,在应用第二类拉格朗日方程求解动力学问题 时,解题思路/解题步骤都相同: 第一步、确定系统的自由度数与相应的系统参数 即广义坐标; 第二步、进行速度分析,确定系统动能; 第三步、确定各系统参数(广义坐标) 的广义力; 第四步、依次列各广义坐标对应的拉格朗日方程; 第五步、联立求解;,12,例14.2-3 质量为m的钢球用细线栓着缠绕在半径为r的固定圆柱体上,不计钢球直径;开始时钢球处于图中虚线所示平衡位置处,线的下垂部分长度为L,线的质量不计;现用一榔头猛然撞击钢球,使其在平衡位置处获得水平向右的初始速度vo;求钢球的运动方程,解 1) 系统参数: ;,2) 求系统动能;,13,3) 确定广义力;,4) 列拉格朗日方程;,5) 联立求解,14,2、拉格朗日动势,如果系统处在势力场中,并且作用在系统上的主动力都是势力; 则系统广义力:,L称为拉格朗日动势,15,例14.2-4 重解例14.2-3所示问题;,解 1) 确定系统参数,求动势;,2) 列动势方程;,16,例14.2-5 滑块1质量为m1,弹簧弹性系数为k,水平面来光滑;滑块1上铰接一单摆,摆长为L(摆杆质量不计),摆球2质量为m2;求系统运动微分方程(组);,解 1) 确定系统参数(x, ),求动势;,系统动能:,系统势能:,2) 列动势方程;,17,补充说明:拉格朗日方程(包含第一类拉格朗日方程/第二类拉格朗日方程和拉格朗日动势方程)不仅适应于约束条件不随时间而变化的定常动力学系统;也适应于非定常动力学系统;这是因为拉格朗日方程是针对系统的某一时刻而言的,所谓“某一时刻”就是把时间t作为常量看待(时间“凝固”);,18,对于非定常约束系统,仍以两自由度系统为例,其内任一质点i的位置矢/速度矢分别为:,这时仍然有:,19,20,