第5章 数字电路基础,5.1 数制与码制 5.2 逻辑代数的基本知识 本章小结,www.jiaocaiwang.com,电子技术的分类 模拟电子技术 数字电子技术,模拟信号：在时间和幅值上都连续变化的信号。 数字信号：在时间和幅值上都为离散的信号。 模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。 数字电路：处理和传输数字信号的电路。,www.jiaocaiwang.com,5.1 数制与码制,一、常用数制,www.jiaocaiwang.com,数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。 计数制（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。,1. 十进制,数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 计数规则：逢十进一 基数：10 权：10的幂,例：（345.25）10 =（3102+4101+5100+210-1 +510-2）10,www.jiaocaiwang.com,2. 二进制,数码：0、1 计数规则：逢二进一 基数：2 权：2的幂,例：（1011101）2 =（126+025+124+123+122+021+120）10 =（64+0+16+8+4+0+1）10 =（93）10,数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！,www.jiaocaiwang.com,3. 八进制,数码：07 计数规则：逢八进一 基数：8 权：8的幂,例： （127）8=（182+281+780）10 =（64+16+7）10 =（87）10,www.jiaocaiwang.com,4. 十六进制,数码： 09、A、B、C、D、E、F 计数规则：逢十六进一 基数：16 权：16的幂,例： （5D）16=（5161+13160）10 =（80+13）10 =（93）10,www.jiaocaiwang.com,5.1 数制与码制,二、不同进制数的相互转换 1.二进制、八进制、十六进制转换为十进制数 将各种数制转换成十进制时，只要将它们按权展开，求出相加的和，便得到相应进制数对应的十进制数。,www.jiaocaiwang.com,(10101.11)2=124+023+122+021+120+12-1+12-2 =16+0+4+1+0.5+0.25=(21.75)10,(265.34)8=282+681+580+38-1+48-2 =128+48+5+0.375+0.0625 =(181.4375)10,www.jiaocaiwang.com,2.十进制数转换为二进制、八进制、十六进制,整数部分采用“除基数取余”法，直至商为 0，所得余数自下而上排列起来；小数部分采用“乘基数取整”法，直至小数为0或按要求保留位数，所得整数自上而下排列起来。,例：将(25.375)10转换为二进制数。,www.jiaocaiwang.com,3.二进制数与八进制数、十六进制数的相互转换,（1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。,（101011100101）2 =（101，011，100，101）2 =（5345）8,（6574）8 =（110，101，111，100）2 =（110101111100）2,www.jiaocaiwang.com,（2）二进制与十六进制之间的转换 四位二进制数对应一位十六进制数。,例如： （9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2 =（1001101001111110）2,（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2 =（5D6）16,www.jiaocaiwang.com,三、码制,二进制代码：具有特定意义的二进制数码。 编码：代码的编制过程。,BCD码（二十进制编码）：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。,www.jiaocaiwang.com,表5-1 几种常用的BCD码,www.jiaocaiwang.com,5.2 逻辑代数的基本知识,一、逻辑代数的基本运算,1.与运算,当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。,设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态； 1闭合，0断开； 逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。,A、B全1，Y才为1。,图5-1 与逻辑电路,表5-2 与逻辑的真值表,www.jiaocaiwang.com,图5-2 与门逻辑符号,逻辑表达式： YA BAB 符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）； 在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。,实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图5-2所示，符号“&”表示与逻辑运算。,www.jiaocaiwang.com,2.或运算,决定事件发生的几个条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，结果就会发生，这样的逻辑关系称为或逻辑。,表5-3 或逻辑真值表,A、B有1，Y就为1。,www.jiaocaiwang.com,图5-3 或门逻辑符号,逻辑表达式： YAB 符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。,实现或逻辑的电路称作或门，逻辑符号如图5-4所示，符号“1”表示或逻辑运算。,www.jiaocaiwang.com,3.非运算,在某一事件中，若结果总是和条件呈相反状态，则这种逻辑关系称为非逻辑。,表5-4 非逻辑真值表,A与Y相反,www.jiaocaiwang.com,图5-4 非门逻辑符号,实现非逻辑的电路称作非门，非门逻辑符号如图5-4所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。,www.jiaocaiwang.com,4.复合 运算,www.jiaocaiwang.com,5.逻辑函数的表示方法及相互转换,（1）逻辑函数 在前面讨论的逻辑关系中可以知道，逻辑变量分为两种：输入逻辑变量和输出逻辑变量，当输入逻辑变量的取值确定之后，输出逻辑变量的取值也就被相应地确定了，输出逻辑变量与输入逻辑变量之间存在一定的对应关系，我们将这种对应关系称为逻辑函数。由于逻辑变量是只取0或1的二值变量，因此逻辑函数也是二值逻辑函数。,（2）逻辑函数的表示方法及转换 逻辑函数的表示方法有逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、波形图和卡诺图等。,www.jiaocaiwang.com,例5-4 已知函数的逻辑表达式,要求：列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。,（2）根据真值表和已知输入波形，画出输出波形，如图5-5所示。,图5-5 例5-4的波形图,解： （1）将A，B，C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表5-6所示。,表5-6 例5-4真值表,www.jiaocaiwang.com,（3）根据逻辑表达式，画出逻辑图如图5-6所示。,图5-6 例5-4的逻辑图,www.jiaocaiwang.com,二、逻辑代数的定律和运算规则,1基本定律,以上定律的正确性可以用真值表证明，若等式两边的真值表相同，则等式成立。,www.jiaocaiwang.com,2基本运算规则,（1）代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式仍然成立。代入规则之所以成立，是因为任何一个逻辑函数也和逻辑变量一样，只有0和1两种取值。,例5-5 已知等式 。若将所有出现A 的地方都用函数D+F代替，则等式仍然成立。即,www.jiaocaiwang.com,（2）反演规则,若求一个逻辑函数Y的反函数时，只要将函数中所有“.”换成“+”，“+”换成“.”；“O”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则所得到的逻辑函数式就是逻辑函数Y的反函数表达式。,运用规则必须注意运算符号的先后顺序，必须按照先括号，然后按先与后或的顺序变换，而且应保持反变量以外的非号不变。,例5-6 已知,，求,解：,www.jiaocaiwang.com,（3）对偶规则,Y是一个逻辑表达式，如果将Y中的“.”换成“+”，“+”换成“.”，“O”换成“l”，“1”换成“O”，则所得到新的逻辑函数式,，就是Y的对偶函数。,对于两个函数，如果原函数相等，那么其对偶函数、反函数也相等。,例5-7 已知,，求对偶函数,解：,www.jiaocaiwang.com,三、逻辑函数的代数化简法,根据逻辑代数的定律和运算规则，常用的逻辑函数表达式有如下几种：,与-或表达式,或-与表达式,与非-与非表达式,或非-或非表达式,与-或-非表达式,www.jiaocaiwang.com,逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法。代数法就是运用逻辑代数的基本定律和规则化简逻辑函数。常用的方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。,例5-8 化简逻辑函数表达式,解：,www.jiaocaiwang.com,例5-9 化简,解：,利用代数化简法，要求熟练掌握逻辑代数的定理和运算规则，并需要掌握一定的化简方法，同时对于一个较复杂的逻辑式也难以判断化简结果是否为最简。为了克服这个缺点，引入另一种化简方法卡诺图化简法。,www.jiaocaiwang.com,四、逻辑函数的卡诺图化简法,1最小项的定义及其性质,（1）最小项的定义 在n个输入变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含n个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。对n个输入变量的逻辑函数来说，共有2n个最小项。,（2）最小项的编号 为了表达方便，最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。编号的方法是：使最小项的值为1所对应的输入变量的取值作为二进制数，将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号，以,为例，因为它与010相对应，所以记作m2。,www.jiaocaiwang.com,（3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的逻辑函数表达式称为最小项表达式。,例5-10 将逻辑函数,1）对于任意一个最小项，输入变量只有一组取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0； 2）不同的最小项，使它的值为1的那一组输入变量取值也不同； 3）对于输入变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0； 4）对于输入变量的任一组取值，所有最小项之和为1。,转换成最小项表达式。,解：,（4）最小项的性质,www.jiaocaiwang.com,2逻辑函数的卡诺图表示法,（1）卡诺图 卡诺图是按相邻性原则排列的最小项的方格图。,1）二变量卡诺图,图5-7 二变量卡诺图,2）三变量卡诺图,图5-8 三变量卡诺图,3）四变量卡诺图,图5-9 四变量卡诺图,www.jiaocaiwang.com,（2）用卡诺图表示逻辑函数 任何一个逻辑函数都可以写成最小项表达式，而卡诺图中的每一个小方格代表逻辑函数的一个最小项，只要将逻辑函数中包含的最小项对应的方格内填1，没有包含的项填0(或不填)，就得到函数卡诺图。,例5-11 试用卡诺图表示逻辑函数,www.jiaocaiwang.com,3用卡诺图化简逻辑函数,（1）化简依据和合并规律 卡诺图的化简依据：卡诺图中几何相邻的最小项在逻辑上也有相邻性，而逻辑相邻的两个最小项只有一个因子不同，根据互补律,可知，将它们合并，可以消去互补因子，留下公共因子。,（2）化简步骤 1）用卡诺图表示逻辑函数； 2）对可以合并的相邻最小项（相邻的“1”）画出包围圈（也叫卡诺圈）； 3）消去互补因子，保留公共因子，写出每个包围圈所得的乘积项； 4）从卡诺图中读出最简与或表达式，最简式可能不是唯一的。,www.jiaocaiwang.com,www.jiaocaiwang.com,例5-12 用卡诺图