1,12.4、虚位移原理,理想约束条件下质点系的静力学平衡条件:系统所受的力在任何虚位移中所作虚功的和都等于零;这就是虚位移原理,也叫虚功原理，,1、约束及其分类 限制质点或质点系运动的条件即为约束;,1)、几何约束和运动约束,限制质点或质点系空间几何位置的条件称为几何约束;,2,限制质点系运动情况的运动学条件称为运动约束;,2）定常约束与非定常约束,如果约束条件随时间变化,这类约束称为非定常约束,约束条件:,定常约束:约束条件不随时间而变化;,3,虚位移是质点从静止开始发生的与约束相容的任何无限小位移.在非定常约束中,质点某时刻的虚位移就是把时间t看作常量(称为“时间凝固”)后可能发生的与该时刻约束相兼容的任何无限小位移;,M点位置矢:,M点虚位移:,M点实位移:,在非定常约束中,质点的实际位移(简称实位移)并非“虚位移中的一个”;而在定常约束中,质点的实位移就是虚位移中的一个;,4,3) 完整约束与非完整约束,几何约束与可积分的运动约束合称完整约束;不可积分的运动约束称为非完整约束;完整约束对应的约束方程中可以不含速度因素;,4) 单面约束与双面约束,约束方程可以写成不等式形式的者称为单面约束;约束方程只能写作等式形式的约束称为双面约束;,(OM:杆) (OM:绳),5,本章只讨论定常的/完整的双面约束;这类约束对应的约束方程中不含时间t因素/不含速度因素,而且没有不等式;,刚体的内力/地面对纯滚动车轮的静摩擦力/固定面约束/光滑铰链/无重刚性杆/不可伸长的柔索/插入端等;,若以 表示质点系中第i个质点受到的理想约束力,以 表示该质点的虚位移,则对质点系有:,6,4、虚位移原理,受定常/理想约束的质点系,其处于静力学平衡状态的充要条件是:在质点系的任意虚位移上,所有主动力的虚功之和都为零:,必要性证明：,设质点系处于平衡静止状态,第i个质点:,充分性证明：,质点系必处于平衡状态,7,；,结论:单自由度刚体系统也是一个单自由度质点系;同理,n自由度刚体系统(n2)也是一个n自由度质点系;,8,在固定坐标系oxyz中,设质点系中第i个质点的位置矢和它所受到的主动力分别为:,该质点的虚位移:,则虚位移原理也可表示为:,这就是坐标解析形式的虚位移原理;,9,列坐标解析形式的 虚位移原理方程式:,10,11,12,在应用虚位移原理求解多自由度系统静力学问题时,有两种方法可供选择;现以三自由度系统为例,设系统的独立参数分别为q1 / q2 / q3 ;,a) 几何矢量分析法,首先令:,再令:,b) 坐标解析法,联立求解,13,5、广义坐标与广义力,对于一个n自由度质点系,现以n=3系统为例,设系统参数为q1 / q2 / q3 (系统参数也叫广义坐标);依次令:,称Q1为系统参数q1的广义力; 称 为q1对应的广义虚位移;依次类推;,则虚功等于零方程即为如下形式:,由虚位移原理得：,14,至此,我们得出了三种形式的虚位移原理方程式:,a) 几何矢量分析法,b) 坐标解析法,c) 广义力法,15,令:,16,令:,17,6、保守系统平衡时的势能极值函数,如果质点系是保守系统:受到的主动力都是势力;,质点系处于受力平衡状态的条件:,保守系统的静力学平衡及其稳定性判断问题,就是“求解n元势能函数的极值点及判别极值性质（极大值、极小值）问题”；,18,19,