第2章 连续时间系统的时域分析,2.1 离散时间信号 2.2 离散时间系统 2.3 序列的卷积和相关 2.4 差分方程 2.5 零输入和零状态相应 2.6 数字滤波器 2.7 单位样值相应 2.8离散时间系统的应用,2.1 离散时间信号,2.1.1 序列的类型 1.单位样值序列,单位样值序列是数字域中的基本函数，因为几乎所有的数字信号都能用样值序列改造出来。比如，对于任意序列，有 ：,（24）,其中， 代表序列的样本值。,2单位阶跃序列,定义：,（25）,由定义可以看出在u(n)和之间存在如下关系：,和：,式中u(n-1)是u(n)的位移序列。一般而言，若序列y(n)与序列x(n)满足关系y(n)x(n-k)，则称序列y(n)为序列x(n)的位移(或延迟)序列。其中k为整数且当k 0时为前向（或右）位移，k 0时为后向（左）位移。,3指数序列,定义：,式中,（2-7）,为实数或复数。若,，则当,时,将衰减到,0；若,，则,单调递减；若,，则,在趋于0,的过程中将在正负值之间振荡。,如果,为复数，则,可表示为,，这里,为模，,为相位或角频率。,因此复指数序列,就可以写成：,（2-8）,4正弦序列,若以为 采样间隔对一模拟正弦信号 进行采样，在采样时刻 的模拟正弦信号值就可表示为：,式中 是模拟角频率，n为采样点数， 为采样频率， 为初相角。于是上式又可写成：,式中 是归一化频率，称为数字频率（单位：周期/样本）， 是数字角频率（单位：rad）。,（2-9）,（2-10）,5随机序列,在实际工作中除了能用数学解析式描述的离散信号序列外（这些信号可以通过它们的频谱以某种确定的形式给予表征），我们还可能遇到许多不能或不方便用数学解析式描述的离散信号序列。这些离散信号序列一般称之为随机或统计序列，对它们的描述通常需要用到所谓的概率密度函数（pdf）。 随机或统计序列也能用它们的各阶矩进行描述，如一阶矩（均值）、二阶矩（方差）以及高阶矩的概念。一般而言，一个随机序列完全由它的概率密度函数所定义，而它又唯一地被映射到各阶矩上。针对工程信号，仅仅由均值和方差就可以给出该序列的概率密度函数，比如高斯分布型随机变量x的概率密度函数如下：,上式给出的概率密度函数如果随时间变化，则信号序列就是非平稳的。,6周期与非周期序列： 如果序列:,（2-11）,成立，且N为满足关系式的最小正整数，则定义x(n)为周期序列，N为基本周期。如果一个信号是以N为周期的，那么它对于2N，3N以及所有其他N的整数倍都是周期的。如果式(2-11)对于任何整数N都不满足，则x(n)称为非周期序列。,例2-1离散序列,是非周期的，,也是非周期,的。但序列,却是周期的，且有一个,N = 16的基本周期。,例2-2 一个正弦序列存在如下关系：,显然，只有当,或,时，,才为周期序列,其周期亦为N。,如果,不是整数，而是有理数，则,仍为周期序列，但周期不为,，而是,的整倍数，其倍数,为,分数,的不可约分母。若,不为有理数，则,不是周期序列，这时，一般称它是非周期的或,拟周期的。虽然,正弦序列并非总是周期的,，但它却具有周期包络。,如果设,x1(n)是周期为N1的序列，,x1(n)是周期为N2的序列，则,两者之和,x(n)= x1(n)+ x2(n),仍然是周期序列，且新序列的基本周期为,（2-12）,式中gcd(N1，N2)表示N1、N2的最大公约数。,这种情况对于两个,周期序列相乘也成立，即,x(n)= x1(n) x2(n),是周期序列，其周期也可用式(12)确定。,不过，此时其基本周期,可能更小。,给定任意序列x(n)，,可用以下方式复制x(n)，,从而总可以构造,出一个周期序列：,（2-13）,式中N为正整数。显然，y(n)是以N为周期。,7. 偶部与奇部,已知任何信号x(n)都可以分解为其偶部xe(n)和,奇部xo(n)之和的,形式，也就是说,x(n) = xe(n) + xo(n),（2-14）,其中偶部具有如下关系式：,（2-15）,奇部具有如下关系式：,（2-16）,复数序列的对称形式与实数序列略有不同。,事实上，如果对于,所有n，有,x(n)= x*(n),则称复信号x(n)是共轭对称的；如果对于所有n，有,x(n)= x*(n),则称复信号x(n)是共轭反对称的。,任何复信号都可以分解为一个共轭对称信号和一个共轭,反对称信号之和。,8对称序列 偶对称是指，若序列x(n)与它的镜像x(n)相同，则为偶对称序列； 奇对称是指，若序列x(n)与它的镜像x(n)只相差一个正负号，则为奇对称序列; 偶对称和奇对称分别存在如下关系：,和,图2-2 序列的对称性,在对称条件下，序列均具有对称的定义域：,，N为,任意整数。,不过对于奇对称序列，,还存在,并且,在对称,定义域,上的和为零，即：,2.1.2 序列运算,1. 序列相加：两个信号序列的相加是对信号样本值的逐点相加运算，表示为：,（217）,2.序列相乘：两个信号序列的相乘是对信号样本值的逐点相乘运算（即“点乘”），表示为：,（218）,注意，序列相乘运算特别强调了“逐点”相乘，这是因为matlab定义的乘法算子有矩阵乘法和阵列乘法之分。其中矩阵乘是标准的矩阵运算，而阵列乘则规定了元素对元素的运算（即点乘）。这种差别在编程中是需要特别注意的。,3数乘：信号x(n)的数乘运算是把序列的每个样本值都乘以常数a：,（219）,这个运算也可以看作是两个信号序列x(n)和f(n) = a的乘积运算。,4移位：在移位运算中，x(n)的每个样本都移动k位，移位后的序列y(n)表示为：,（210),上式表明，如果k 0，,则x(n)被右移（延迟）k位；如果k 0，,则x(n)被左移（超前）k位。换句话说，如果,序列x(n)在,处开始，则移位运算后的序列将在,处开始。比如，,序列,是x(n) 右移（延迟）5个单位的序列，,而,则是x(n) 左移（超前）5个单位的序列。,5反折（转）：在反折（转）运算中，x(n)的每个样本都对n0翻转，从而得到一个折叠后的序列y(n)。反折（转）运算其实是序列x(n)关于原点n=0的一个镜像。反折运算表示为：,（221）,6求和：求和（累加）运算和信号相加运算是完全不同的，它把n1和n2之间的所有样本x(n)累加起来，可表示为：,（222）,。,7求积：求积（连乘）运算和信号相乘运算也是不同的，它把n1和n2之间的所有样本x(n)连乘起来，可表示为：,（223）,8信号能量：序列x(n)的能量由下式给出：,（224）,式中上角标*表示共轭转置运算,9信号功率：基本周期为N的周期序列的平均功率可以由下式给出：,（225）,10序列相关：相关运算用于度量序列之间的相似程度。它在数字信号处理应用中具有重要作用。,已知两个长度相同、能量有限的离散时间序列由x(n)和y(n)给出，则定义x(n)、y(n)的互相关运算为一个新序列rxy：,（226）,式中指标（变量）l称为移位参数。,如果我们取x(n) = y(n)，则上式变为：,（227）,它是（2-26）式的特例，称为自相关序列运算。其几何 意义为序列本身及其移位之后它们自相似程度的度量。,一般地，可以用单位采样把任意离散序列x(n)分解为具有如下形式的加权移位的单位采样的和：,（228）,式中x(k)是序列在序号为k处的加权值；(nk)是移动k之后的单位抽样序列。,2.1.3 信号分解,2.1.4 离散序列的应用,见教材,2.2 离散时间系统,离散时间系统是一种数学映射或算子，它通过一组约定的法则或运算将一个（组）信号(输入激励)变换为另一个（组）信号(输出响应)。可用算子T表示一个离散时间系统，如图2-5所示，图中输入信号x(n)通过算子T被变换为输出信号y(n)。,图2-5 输入信号通过离散系统（T）映射成输出信号,有两种基本的系统模型描述形式： 输入/输出模型：描述系统输入信号和输出信号之间的关系； 状态（或内部）变量模型：描述系统输入、内部状态和输出信号之间的关系。 本书主要研究输入-输出模型描述。具体讲将研究4种输入/输出描述形式：,卷积模型 差分方程（关于输入/输出） 离散傅立叶变换模型 传输函数模型,其中前两种方法给出的是系统的时间函数，故称之为时域模型；而后两种方法是以频率为变量，故称之为频域模型。但离散傅立叶变换模型一般又可认为是传输函数表示法的一种特例，因此实际上只需要研究3种基本的输入-输出描述形式。,2.2.1 离散时间运算,借助于算子可以将一种函数变换为另外一种函数。如果我们用算子T表示一种运算或变换，那么下式 :,(229),意指函数x(n)在算子T的操作（或作用）下，得到一个新的函数y(n)。,例如，下列算子运算：,表示y(n)是通过将x(n)左移3个单位，再乘4加6得到，即：,线性运算和叠加性,我们称一个系统是可加的，是指对于任意信号x1(n)和x2(n)，有,（对可加运算）,（2-30）,称一个系统是齐次（均匀）的，是指对于任意复常数c和任意输入序列x(n)如果，有,（对齐次运算）,（2-31）,例2-3 由,定义的运算不是可加的，因为,与,不相同。但该系统却是齐次的，因为对于cx(n)运算，有,例2-4 由,定义的系统是可加但非齐次的，因为，,但,2.2.2 离散系统的分类,线性系统：满足叠加性的系统定义为线性系统。叠加性意味着系统即满足齐次性又满足可加性，同时还隐含系统是松弛的（具有零初始条件），而且系统差分方程中只包含线性运算。于是，一个系统若为线性，则对任意两个输入x1(n)和x2(n)，以及任意复常数c1和c2，有,(2-32),在给定系统输入序列之后，应用线性特性可以极大地简化分析和计算系统输出响应（序列）。例如，利用（2-28）和（2-32）式中给出的x(n)的分解形式和加性性质，线性系统在任意输入序列x(n)激励下的输出y(n) 可描述为：,已知输入样本值x(k)是常数，故由齐次性可得到：,（2-33）,响应T(n-k)可以理解为单位样值序列在n = k时刻的响应样本值，它被定义单位样值响应h(n,k)。因而输出序列可用叠加原理求得：,（2-34）,上式的计算显然需要已知时变样值响应h(n,k)，这在工程实践,中是不方便的。因此，数字信号处理技术,广泛采用时不变系统。,移位(时)不变性：设y(n)为一个系统对任意输入x(n)的响应。时不变意指，如果对于任意延迟k，它对x(n-k)的响应是y(n-k)，即输入中的k个移位(延迟)只会引起输出中的k个移位。严格讲，如果运算T将输入序列x(n)变换到y(n)，即,则时不变性的条件是：,（对于时不变性）,（2-35）,事实上，如果一个系统其性质或特征不随时间变化就是时不变的。一般而言，为了验证系统的时不变性，需要比较Tx(n-k)和y(n-k)。如果它们对任意输入x(n)和所有移位k都是相同的，这个系统就是移位不变的。,例2-5 检验下列运算的线性与时不变性,1) y(n)=nx(n),2) y(n)=x(n)x(n-1),3),4) y(n)=x(n-2),5) y(n)=x(2n),解：,它的运算为,因此有：,和,两式相等，系统是线性的.,然而，,和,两式不相等，故系统。,是时变的。,它的运算为,，因此有：,2.,和,，显然两式不,系统是非线性的。,相等，,然而，,以及,，两式不相等，,，两式相等，,系统是时不变的。,3.它的运算为,，因此有：,和,系