第六节 函数的连续性,一、连续函数的概念,连续在几何图形上表示一条连续不断开的曲线。在数学上怎样描述呢？为此先从以下几个图形产生断开的原因入手：,图形产生断开的原因有三种情况：,取,目录,1、在 无定义,2、在 x0 的左、右极限存在但不相等，,即在 x0 的,极限不存在 。,或者左、右极限至少有一个不存在，,3、在x0极限存在，但不等于,不存在,f (x)在 x 1处不连续。,即 x 1是 f (x)的间断点。,解：,f (1)a，要使函数在 x 1 点处的连续，,必须,即 a 1,当 a 1 时，函数在 x 1 点处连续，,解：,当 a 1 时，函数在 x 1 点处不连续。,由连续函数定义可得出以下结论：,如：,处。,这一等式意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互换。,由连续的定义及极限的运算和复合函数的 极限运算法则，容易证明得到连续函数以下性质：,二、初等函数的连续性,由第一章基本初等函数的图象在其定义域内都是连续的曲线，故基本初等函数在其定义域内都是连续的。由连续函数的上述两个性质，得到下列重要的结论： 初等函数在其定义区间内都是连续的。 由此可得，初等函数在其定义区间内任一点处的极限于该点处的函数值。,三 闭区间上连续函数的性质,定理2.3(最值定理) 若函数 f (x)在闭区间 a,b上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。,从几何直观上看，闭区间上的一条连续曲线，必然至少有一点达到最高，也至少有一点达到最低。,定理2.4(介值定理) 若函数 f (x)在闭区间 a,b上连续，m 和 M 分别为 f (x) 在区间 a,b 上的最小值和最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 a ，至少存在一点 (a,b)，使得 f () c,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,练 习 题,练习题答案,作业 P28 习题2.6 3 4（2）,