5 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,定义:,称为二次型.,例如,都是二次型；,是二次型的标准形;,是二次型的规范形.,二、二次型的矩阵表示,例:,解:,三、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：找一 可逆的线性变换,将二次型化为只含平方项的标准形.,定理:,例:,解:,二次型的矩阵,续解:,续解:,续解:,续解:,解:,6 用配方法化二次型为标准形,除了用正交变化化二次型成标准形外, 还可用 多种方法把二次型化成标准形, 以下介绍拉格朗日 配方法.,续解:,就把 f 化成了标准形,所用变换矩阵为,解:,所用变换矩阵为,7 正定二次型,一个实二次型，其标准形一般来说是不唯一 的，但标准形中所含的项数是确定的，项数等于 二次型的秩; 且在实变换下，标准形中正系数的 个数是不变的.,定义:,定理:,推论: 实对称矩阵 A 为正定 A 的特征值全为正,定理:,实对称矩阵 A = (ai j) 为正定的充要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即,实对称矩阵 A = (ai j) 为负定的充要条件是： 奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,解:,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解:,用特征值判别法 ,二次型的矩阵为,得 A 是正定矩阵,所以此二次型是正定二次型.,解:,先将1,2,3正交化,为此取,再将1,2, 3 单位化得,