第2章 线性网络的等效变换和一般 分析方法,2.1 电阻的串联和并联 2.2 电阻的星形联结和三角形联结的等效变换 2.3 电源的等效变换 2.4 支路电流法 2.5 节点分析法 2.6 网孔分析法 2.7 叠加定理与齐次定理 2.8 戴维南定理与诺顿定理 2.9 受控源,2.1 电阻的串联和并联 2.1.1 电阻的串联及其分压,n 个电阻串联的等效电阻等于各个串联电阻之和。,多个电阻首尾依次相连构成电阻的串联。 图2-2a所示是n个电阻串联电路，图2-2b所示为其 等效电路。,图2-2,各电阻上的电压关系为： 由此可以看出，多个电阻串联时，电压的分配与电阻阻值成正比。也就是说，电阻越大分得的电压也越大，电阻越小分得的电压也越小。,n 个电阻并联的等效电阻R 为：,若n个电阻首端连接在一起，尾端连接在一起， 并施以同一电压的电路，称为n个电阻的并联电路。如图2-5a所示。其等效电路如图2-5b所示。,2.1.2 电阻的并联及其分流,图2-5,并联后各电阻上的电流关系为： 由此可以看出，多个电阻并联时，电流的分配与电阻成反比。即电阻越大，其分得的电流越小；而电阻越小，其分得的电流越大 。,两个电阻并联的电路如图2-6所示，其等效电阻为： 两支路电流为：,图2-6,若在电阻的连接中既有串联，又有并联，则把这种电路称为混联。 在电阻的混联电路中，若各个电阻的串、并联关系为直接串、并联电路，则电路中的各量可根据串、并联电路的公式进行计算。,2.1.3 电阻混联的分析与计算,2.2 电阻的星形联结和三角形联结的等效变换,电阻的星形联结（Y联结），如图2-11a所示。 电阻的三角形联结（联结），如图2-11b所示。,2.2.1 电阻的星形联结和三角形联结,图2-11,对于Y 联结电路，根据KCL、KVL和等效变换的条件，可得电阻的联结计算公式：,2.2.2 电阻的星形联结和三角形联结的等效变换,对于Y 联结电路，根据KCL、KVL和等效变换的条件，可得电阻的联结计算公式：,已知 Y 联结的电阻，求等效联结电阻的计算公式：,2.3 电源的等效变换 2.3.1 理想电源的等效变换,由图2-13所示电流源的等效电路，可以得出结论：电流源与任何线性元器件串联时，都可等效成电流源。,图2-13,由图2-14所示电压源的等效电路，可以得出结论：电压源与任何线性元器件并联时，都可等效成电压源。,图2-14,实际电压源：用一个理想电压源us和内阻Ri相串联的模型来表示。如图2-15a所示。 实际电流源：用一个理想电流源is和内阻Ri 相并联的模型来表示。如图2-15b所示。,2.3.2 两种实际电源的等效变换,图2-15,根据等效变换的条件，若在两电路上加相同的电压u，则它们对外应产生相同的电流i。,在图2-15a中，有,在图2-15b中，有,对比两个式子，得两个电路等效变换的条件：,例2.6 如图2-16a所示，已知R1=30，R2=60， R=80，us1=60V，us2=90V。求电流i。,解：,图2-16,转换为2-16b的形式，则,转换为2-16c的形式，则,2.4 支路电流法,若以支路电流为电路变量，通过KCL、KVL和VCR列方程，解方程求出各支路电流的方法， 称为支路电流法。 设电路中有n个节点，b条支路。由KCL可列出n-1个独立的电流方程，由KVL可列出b-(n-1)个独立的电压方程，联立可得b个独立方程。若把b-(n-1)个独立的电压方程中的电压用支路电流来表示，则可得b个独立的电流方程，然后解方 程组就可求出各支路的电流。,图2-17,在图2-17所示电路中，有3个独立的KCL方程，以a、b、c节点列方程，得,i1-i2-i3=0 -i1-i4-i6=0 i3+i4+i5=0,R1i1+R3i3-R4i4=us1 R2i2-R3i3+R5i5=0 R4i4-R5i5-R6i6=0,KVL方程也有3个，以3个网孔作为基本回路，列方程，最终可得,例2-8 如图2-19所示，已知R1=4，R2=6，is=1A，us1=20V，us2=4V。求各支路的电流。,解：方法一：图2-19中有3条支路，由于电流源所在支路电流已知，故电路中有2条支路的电流未知，设其为i1和i2。,图2-19,方法二：因电流源两端电压无法用各支路电流来表示，故设其为u。根据支路电流法得,i1-i2+is=0 R1i1+u=us1 R2i2-u=-us2,解得 i1=1A，i2=2A，u=16V,图2-19,节点电压：在电路中任选某一节点作为参考节点，其他节点与此参考节点之间的电压。 节点电压的参考极性规定：参考节点为负，其余独立节点为正。 节点电压法：以节点电压为未知量，在独立节点上，根据KCL列出用节点电压表示的支路电流方程，通过解方程组，求出节点电压，再计算各支路电流的解题方法。,2.5 节点分析法 2.5.1 节点分析法及其一般形式,图2-20,以图2-20为例，电路中有3个节点，分别为0、1、2。设节点0为参考节点，节点1和节点2到参考节点的电压分别为u1和u2。根据KCL，可以列两个独立的电流方程,节点电压法的一般形式,i1+i2=is1 -i2+i3+i4=0,各支路根据VCR可得,代入上式整理得,也可写成 （G1+G2）u1-G2u2=is1 -G2u1+（G2+G3+G4）u2=G4us4 或写成 G11u1+G12u2=is11 G21u1+G22u2=is22,设电路中有n个节点，则有n -1个节点电压,节点电压法方程组的一般形式为： G11u1+G12u2+ +G1（n-1）u（n-1）=is11 G21u1+G22u2+ +G2（n-1）u（n-1）=is22 G（n-1）1u1+G（n-1）2u2+ +G（n-1）（n-1）u（n-1）=is（n-1）（n-1）,结点电压法的解题步骤如下: 1）确定参考节点及节点电压； 2）确定各节点的自导和互导，列出节点电压 方程； 3）解方程求各节点电压； 4）由节点电压及KVL和VCR关系求各支路电 流或电压。,2.5.2 节点电压法的解题步骤,例2-10 在图2-21所示的电路中，试用节点电压法求电流ix。,解：方法一：设节点0为参考节点，则节点电压为u1和u2。因为u1=u10=12V，所以只有u2为待求量，列一个方程即可。,结点2的节点电压方程为,解之得 u2=6V,电流为,图2-21,方法二：设结点2为参考节点，则节点电压为u0和u1，12V电压源上的电流为i，则节点电压方程组为,两个节点间电压的关系为,u1-u0=12V,联立解得 u0=-6V，u1=6V，i=6A,电流为,网孔电流法：在电路中，以假想的网孔电流为电路变量，通过KVL列出用网孔电流表示支路电压的独立回路电压方程，解方程求出网孔电流，再利用网孔电流求出各支路电流及电压的分析方法，称之为网孔分析法（或网孔电流法）。,2.6 网孔分析法 2.6.1 网孔电流法及其一般形式,在图2-22所示的电路中，列出回路和回路的KVL方程如下：,图2-22,令R11=R1+R3，R22=R2+R3，R11和R22分别为网孔和网孔中所有电阻之和，分别称其为自阻；令R12=R21= -R3，R12和R21为网孔和网孔公有支路电阻和，称其为网孔和网孔的互电阻； 令us11=us1-us2，us22=-us2+us3，us11和us22分别为网孔和网孔内所有电压源的电压代数和。 这样，方程组可表示为,R11i1+R12i2=us11 R21i1+R22i2=us22,此方程组可推广到具有n个独立回路的平面电路，网孔电流法方程组的一般形式为: R11i1+R12i2+ +R1nin=us11 R21i1+R22i2+ +R2nin=us22 Rn1i1+Rn2i2+ +Rnnin=usnn 对第k个独立回路，其通式为,网孔电流法的解题步骤如下: 1）选定独立的网孔，并指定网孔电流的绕行 方向； 2）确定各网孔的自阻和互阻，列出网孔电流 方程组； 3）解方程求出网孔电流； 4）由网孔电流求出各支路电流； 5）根据各支路电流及各支路的VCR关系求出各 支路电压。,2.6.2 网孔电流法的解题步骤,通过教材中例2-11可以得出： 1）网孔电流法方程中的自阻为该网孔中所有电阻之和，恒为正；互阻为相邻网孔公有之路电阻的和，有正也有负。当所有网孔绕行方向均为顺时针（或逆时针）时，互阻值为负。 2）uskk代表第k个回路上电压源的电压代数和。当其电压的参考方向与绕行方向一致时，取“-”号；反之，取“+”号。,注意： 若电路中存在电流源，这时可以假设电流源的端电压为u，再增加一个方程，即以电流源为公有支路的网孔电流与电流源电流的关系式；或者在确定网孔电流时，选择只有一个网孔电流通过电流源所在支路，这样，该网孔电流等于电流源电流，此网孔电流方程可以省略。,图2-26a所示为简单的线性电路，根据电源等效变换的方法，将图2-26a依次转换为图2-26c所示的电路。在图2-26c中，电阻R上的电流为,2.7 叠加定理与齐次定理 2.7.1 叠加定理,图2-26a,图2-26b,图2-26c,叠加定理： 在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应（电压或电流）都可以看成是各个独立电源单独作用时，在该支路中产生响应的代数和。,使用叠加定理时，应注意以下几点： 1）只能用来计算线性电路的电流和电压，对非线性电路的响应，一般不存在叠加关系。 2）各量叠加时要注意电流和电压的参考方向，各电流和电压前取“+”号，还是取“-”号，由参考方向的选择而定。 3）叠加时电路的连接及所有电阻不变。所谓电压源不作用，就是用短路线代替该电压源，如图2-26e所示；电流源不作用，就是在该电流源处用开路代替，如图2-26d所示。,4）由于功率不是电压或电流的一次函数，因此不能用叠加定理来计算。 5）叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于是否有利于分析计算问题。,图2-26d,图2-26e,齐次定理也叫齐性定理。它是指在线性电路中，若只有一个电源作用，则电路上的响应与激励成正比。,2.7.2 齐次定理,2.8 戴维南定理与诺顿定理 2.8.1 戴维南定理,戴维南定理: 一个线性含独立电源的一端口电路，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联电路来等效，此电压源的电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口网络内部全部独立电源置零后的输入电阻。,在图2-29a中，NS为含有独立电源的电阻性一端口电路，图2-29e所示为其戴维南等效电路。,图2-29a,图2-29e,使用戴维南定理应注意以下几点： 1）电压源的电压为等效电路与外电路开路时的开路电压； 2）串联电阻为等效电路中全部独立源不作用（即电压源用短路代替，电流源用开路代替）时的输入电阻。,例2-16 如图2-30a所示的电路中，负载电阻RL可以改变，求RL=1时流过RL的电流i；若RL改变为6，再求电流i。,图2-30,解：（1）求开路电压uoc。自a，b处断开待求支路，如图2-30b所示。由分压关系求得,（2）求等效内阻R0 。将图2-30b变为2-30c，应用电阻并联等效，求得,（3）由求得的uoc、R0 画出等效电压源，接上待求支路，如图2-30d所示，求得,若RL改变为6，则电流,诺顿定理： 一个含独立电源的线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来等效，电流源的电流等于该一端口的短路电流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输入电导。,2.8.2 诺顿定理,在图2-31a所示的电路中，NS为一含独立电源的一端口电路，图2-31b为其诺顿等效电路。,图2-31a,图2-31b,2.9 受控源,受控源或非独立电源：受