第4章 z变换,4.1 双边z变换 4.2 收敛域 4.3 DTFT与z变换的关系 4.4 双边z变换的性质 4.5 常用序列的z变换 4.6 零点、极点和z平面 4.7 逆z变换 4.8 系统（传递）函数 4.9 单边z变换 4.10 双边z变换和单边z变换的关系 4.11 z变换的应用,4.1 双边z变换,一个序列,的离散时间傅立叶变换（DTFT）已知为：,为使上式收敛，,信号,x(n)必须绝对可求和。,离散信号x(n)的双边z变换定义如下：,式中,是一个复变量。,（4-1）,(4-2),存在，亦即级数收敛,的所有z值的集合称为,收敛域（ROC）。,由于,的定义式是关于z的幂级数形式，,所以它就不一定对所有的z都保证收敛。所有能够保证收敛的z值集合就构成了,的收敛域。因此，两个不同的信号序列有可,能具有相同的双边z变换，但收敛域却可以不同。需要强调的是，与Laplace变换不同，z变换的收敛域和,有密切关系，,在处理双边z变换时必须注意。,表4-1列出了一些常用信号的双边z变换。对于有限长度信号，z变换可以写成z的多项式形式。,在z平面上使,例4-1,令离散序列,，该序列的等价形式可写为,。它的z变换是,，显然该式无法写成闭式。,它的收敛,域是除,和,（或,）的整个z平面 。,例4-2,令离散序列,根据定义式，我们可写出它的闭式解为：,，这是一个有N个样本值的,矩形或窗函数序列，其z变换可写为,ROC:,例4-3 令序列,，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,ROC:,4.2 收敛域,由z变换的定义已知,是关于z的一个幂级数，所谓收敛域是指,使,的值为有限的z值的集合，这就要求在运用z变换时需讨论,它的收敛域。,现令复变量,，它的z变换为：,(4-3),在,的收敛域ROC内，,，但由于,(4-4),故只要序列,满足绝对可求和条件，,就是有限的。,由此可知，,因此，若,的收敛域问题等价于确定使序列,满足绝对可求和条件的r的取值范围。,在复平,面上的某个区域收敛，则式(4-4)中不等式右端的两个求和项必定在该区域上有界。显见，如果式(4-4)中不等式右端的第一个求和项收敛，则一定存在一个足够小的r值使,成立，那么该项的收敛域自然就由位于半径,的圆内部分组,成,的圆内部分组成，如图4-1(a)所示。除此之外，如果式(4-4)中,存在一个足够大的,r值使,成立，那么该项的收敛域也就由位于半径,的圆外部分组成，如图4-1(b)所示。,不等式右端的第二个求和项收敛，则一定,图4-1,的收敛域（阴影部分）,由于,的收敛要求式(4-4)中的两个求和项都有界，,又由于z,变换是复变,量的函数，可以方便地用复z平面描述，故在z平,面上,的收敛域就是由两个求和项都有界的公共区域所构成，,通常这个公共区域是z平面上的一个环状区域,，如图,4-1(c)所示。如果,，式(4-4)中的两个求和项就没有共同的,收敛区域，此时,也就不存在。,综上所述，收敛域是形如,的环形域。如果,收敛域(ROC)还包括z=0,点；如果,收敛域ROC还包括无穷,大。如果,是z的有理函数，它的收敛域还取决于,是单边,的还是双边的，如图4-2所示。,图4-2,的收敛域：a)右边序列的收敛域；b)左边序列的收敛域；c)双边序列的收敛域,例4-4,设,，,(这种序列称为左边序列)，,试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,ROC1,:0|z|a|,式中,。对应于图4-2中的a)图。,例4-5 设,(这种序列称为右边序列)，试用,定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,ROC:,，或者ROC2:,对应于图4-2中的b)图。,例4-6 设,(这种序列称为,双边序列)，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,收敛域为,，对应于图4-2中的c)图。若,，则收敛域ROC3是一个空集，,不存在；若,，则ROC3为,|a|z|b|，且,存在于一个环状区域，如图4-3所示。,图4-3 双边序列的收敛域：(a),的收敛域不存在；(b),存在环状收敛域,收敛域的性质,通过观察以上三例中的收敛域，我们可以总结出ROC的性质以下：,由于收敛条件均由z的模|z|所决定，故收敛域总以某个圆为边界。,2.如果存在一个序列，它在,和,时其值为零，则称为有,限长度序列。,有限长度序列的z,变换的收敛域是整个z平面。若,，则z = 不属于收敛域；若,，则z = 0不属于收敛域。,3.当n小于某个特定的,，即,时，序列,的值为零，称之,为,右边序列。右边序列的z变换,的收敛域位于以最大极点的模为,半径的圆外。,如果,，右边序列也称之为因果序列。,4.当n大于某个特定的,，即,时，序列,的值为零，,称之为左边序,。左边序列的z变换的收敛域位于以最小极点,的模为半径的圆内。,如果,左边序列也称之为非因果序列。,5.若双边序列,的z变换的收敛域存在，则它位于最,大极点半径和最小极点半径构成的圆环内。,6.由于,在收敛域内一致收敛，故其ROC内不能包含极点。,若为有理函数，则其收敛域边界上至少有一个极点。,7.,8.收敛域一定是连通的区域，也就是说收敛域不可分割成几片。,事实上数字信号处理所涉及的信号一般都假设是应果的（因为信号几乎都来源于实时获取），因此，我们更关注的收敛域是上述的第2种，也就是右边信号序列。,例4.7,设,，试确定其收敛域。,解：z变换的收敛域取决于信号序列的性质，因此，,假设信号序列,是右边序列，则其z变换的收敛域是,（因为系统最大极点的模,）。,假设信号序列,是左边序列，则其z变换的收敛域是,（因为系统最小极点的模,）。,假设信号序列,是双边序列，则其z变换的收敛域是,和,不为收敛域，因为这两个区域没有连通。,4.3 DTFT与z变换的关系,z变换可以看作是指数加权序列的离散时间傅立叶变换这是因为,时，由式（4-3）知,的z变换就是序列,的DTFT，即,此时，收敛域ROC由,的取值确定，但需满足：,当,又由于z变换是复变量的函数，若令,，则以z的实部和虚部为坐标作出的z平,面中对应于,的围线是半径为1的单位圆。单位圆上的z变换与对应的DTFT等价，即,(4-5),注意到,通常是关于频率的复函数，因此可以用其实部,和虚部进行描述，即：,（4-5+）,式中,和,都是,的实函数，而,（4-5+）,因此，通过计算单位圆上各点的,值（比如从,=1(,=0)开始，,到,=j (,=,/2),再到,(,=,)），,我们就可以得到,0,的,(e,)值，如图4-4所示。需要注意的是，为保证一,个序列的DTFT存在，,平面上的单位圆必须包括在,的收敛域内。,图4-4 由单位圆上各点的,值计算,(e,)值,4.4 双边z变换的性质,线性性质,(4-6),收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,注意，当序列的线性组合中z变换出现零、极点的对消时，则收敛域可能会扩大。,2.移位性质,(4-7),收敛域为ROC: Rx（可能增加或除去,或者,点）。这里,是一个整数，如果,，则原序列,将向右移；如果,，则原序列,将向左移。,3.指数（或缩放）性质,(4-8),指数性质相当于对z域进行尺度变换。,其收敛域ROC:,表示ROC是Rx，但被,改变了尺度。也就是说，,如果Rx代表一个,满足,的z值的集合，那么,就是,的z值的集合。,如果a = -1，则得到一个有用的结果：,(4-9),4反折（或时间倒置）性质,收敛域ROC：1/ Rx。,如果要从信号的z变换来检验信号的对称性，就会用到反折性质。对于偶对称序列，有,，则由反折性质得,；对于奇对称序列，有,，则由反折性,质得,5复共扼性质,(4-10),收敛域ROC：Rx。,作为一个推论，注意到如果,是实数序列，则有,那么,6微分性质,(4-11),收敛域ROC：Rx（可能增加或除去,或者,点）。,反复应用微分性质，就可得到当k为任意整数时,的z变换，即,7卷积定理,(4-12),收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,注意，如果序列z变换的乘积,中出现零、极点的对消，,则收敛域可能会扩大。,8. 相关性质,根据式（2-48）和（2-49），已知序列,和,的互相关为：,则时域中的相关运算在z域中就存在相乘的关系：,（4-13）,收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,特别，针对自相关运算，其时、z域之间的关系就简化为,可见，z变换也可用于求自相关。,另外，如果序列,是归一化不相关的，这里所谓的归一化,不相关，是指对任意,，有,对,，则有,，这里c为不等于零的常数。如果这个常数,，则称为归一化,不相关。则在z变换域中的条件就等价于,9初值定理,如果,时，,，即序列是应果的或右边的，则有,（4-14）,4.5 常用序列的z变换,表4-2 常用序列的z变换对,例4.8 求,的z变换。,解：运用微分性质，得,例4.9 求,的z变换。,解：运用指数（或缩放）性质，得,例4.10 求N点指数冲激序列,的z变换。,解：令,是一矩形或窗序列，则其z变换为,于是,的z变换为,例4.11 求,的z变换。,解：序列可写为,所以它的z变换为,收敛域为,|,| 1,。两项合并并化简可得,例4.12 求,的z变换。,解：由上题结果，运用指数性质可得,例4.13 求,的z变换。,解：,可写成,由线性性质和反折（转）性质，我们可得,化简得,例4.14 已知序列,的z变换为,如果收敛域包括单位圆，求该序列在,处的DTFT。,解：已知单位圆在收敛域内，则,的DTFT可通过计算单位圆,上的,得到，即,因此，,=,处的DTFT为,由此可得,4.6 零点、极点和z平面,在数字信号处理的诸多应用中，信号的,变换往往可以表示成,如下所示的,的有理函数形式：,(4-15),式中,。为方便对上式进行因式分解，我们进行如下操作：,式中,。现对上式因式分解，得到：,或,(4-16),显然，,在,（分子多项式的根）处有M个有限,零点，在,（分母多项式的根）处有N个有限极点。,特别是，若,（分母阶次高于分子阶次），则在,（原点）,处有N-M个零点；若,（分母阶次低于分子阶次），则在,（原点）处有M-N个极点。,极点及零点还有可能出现在,处。换句话说，如果,，则在,处存在零点；如果,，则在,处存在极点。考虑到位于原点（,）和无穷远点（,）处,的极点和零点数目正好相等。,的零、极点，将会发现,例4.15,令,b=1 1 0; a=1 2.7 4 -0.76 0.76 -0.3; zero=roots(b) zeros = 0 -1 poles=roots(a) poles = -1.4911 + 1.5533i -1.4911 - 1.5533i -0.0112 + 0.4607i -0.0112 - 0.4607i 0.3047,，试求出零、极,点并画图。,解：运用MATLAB函数roots求出系统的零、极点,运用MATLAB函数zplane画出系统的零、极点图，如图4-5所,图4-5 系统的零、极点分布图,示。,例4-16 两个非因果序列的,z变换分别为,。求,解：根据z变换的定义，可知,和,，由于是,非因果序列，故用,MATLAB给出的卷积函数conv，求其乘积并,不方便。本节给出一个针对非因果