第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 原函数与不定积分的概念,定义 1 . 给定区间 I 上定义的函数 f (x) ,如果存在函数 F (x) , 满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如：,给定,，由,给定,给定,，由,，由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函数 .,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,( C 为任意常数 ),证: 1),又知,故,即,属于函数族,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,定义2.,在区间 I 上的全体原函数称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢失 !,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处,的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的方程.,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),积分运算与导数运算是互逆运算.,任意函数都是自身导函数的一个原函数.,二、 基本积分表,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,或,三、不定积分的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 原式 =,例5. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P130 1 ( 双 ) ;,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,