第二节 多尺度分析与滤波器组,一、多尺度分析 (Multiresolution Analysis，MRA ),引入：定义具有相同尺度(2的j次方)的阶梯逼近信 号的集合为j尺度空间,不同尺度分析将具有不同的时间分辨率。尺度 j 越大，分辨率越低。,f ( t ) 在正交补空间的投影,、MRA的定义：闭子空间序列,单淍性 ( 包容性 ),逼近性,伸缩性,平移不变性,Riesz基的存在性,规范条件,MRA的生成元,空间的分解,尺度空间 (Scaling Space ),MRA的生成元尺度函数 (Scaling Function ),j 尺度空间,由MRA的定义可知，相邻尺度空间为包容关系,在 j 尺度空间的投影为,随着 j 的增加，它越来越只反映 f ( t ) 的概貌信息,小波空间 ( Wavelet Space 又称细节空间 ),j 尺度空间的正交补空间 j 尺度小波空间,相邻小波空间之间是正交关系,细节信息,将属于细节空间,生成元至少构成平方可积空间的半正交基,平方可积函数空间的分解,4、双尺度方程 (Two-Scale Relation ),时域关系,频域关系,双尺度序列 ( Two-Scaling Sequence ),若生成元是紧支集的，则双尺度序列为有限长度。,若生成元为实函数，则双尺度序列为实序列。,二、标准正交基,标准正交基及其等价条件,MRA中正交基的存在性存在一个唯一函数：,使得,为 j 尺度空间的正交基。,可由该MRA的生成元,(Riesz基)按下述方法生成,标准正交基的等价条件,a.,是零尺度空间的标准正交基；,零尺度空间的正交基由生成元的整数平移系构成,规范条件,由规范条件还可推出正交生成元的单位划分性质(引用Poisson公式),b.,其证明类似零尺度整数平移正交性等价条件的证明,是,A=B=1的特例，所以正交基是A=B=1时的框架,由规范条件知，k0时有,所以正交生成元( t ) 为连续低通滤波函数,=0,c、,因为为连续变量，上式常写为如下形式,它是构造二进小波的低通滤波器的特例,(数字低通滤波器),证明：,奇偶数分开并利用H()的周期性即可得证,标准正交基对双尺度序列的约束,低通滤波器的约束,偶平移正交条件：,构造正交小波基的基本定理,定理 设(t)是多尺度分析的生成元，并满足:,零尺度空间的正交基为,存在双尺度序列，使以下双尺度方程成立,现令,则有如下结论成立:,A、j尺度小波空间的正交基为,B、对所有整数j有,C、对所有整数j有如下结论成立,D、,构成平方可积空间的正交基,证明:关键是证明结论A、B、C,结论A,将中间和式中的k按奇偶项分开即可得,以零尺度空间为例，证结论B,将n奇偶分开并考虑:,若需证结论C，只需证明(j-1)尺度空间的正交基为 j尺度空间及j小波空间正交基的线性组合即可，即,说明：,MRA生成元的整数平移系为零尺度空间的正交基， 则按此定理必构成正交小波基,( t )又称为尺度函数，( t )为小波函数,对此小波函数也可定义如下双尺度序列,对此G()显然满足如下等式:,G () 为高通滤波器,构成的正交小波基不唯一,推论:(偶平移正交性),Riesz小波基,若MRA的生成元仅为Riesz函数，即它的整数平移 系仅为零尺度空间的Riesz基，则按上一节二进小波 的构造方法可构造Riesz小波基,正交小波基的基本关系式,F,F,三、多取样率滤波器组 (Multirate Filter Banks ),多取样率信号处理的基本关系(T=),二倍再取样 ( Decimation by an Integer Factor 2 ),时域关係：,Z域关係：,频域关係：,证明：令,二倍再取样使尺度加倍；时间分辨率下降一半； 信息量损失一半；有限长度序列长度也减小一半。,可能会造成频城混迭失真。,二倍内插零,时域关係：,Z域关係：,频域关係：,二倍内插零使尺度减半；信息量不变；时间分辨率 不变；有限长度序列长度加倍。,不会造成频域混迭。,尺度、长度不变； 信息量不变。,尺度、长度不变； 信息量减半、可能混迭失真,级联,等效易位,双通道滤波器组及完全重构(PR)条件,滤波器组：具有一个共同的输入 ( 或一个共同的输 出 ) 的一组滤波器。,分析滤波器组共同的输入,综合滤波器组共同的输出,双通道滤波器组的完全重构条件 ( Perfect Reconstruction 简记 PR 条件 ),欲需完全重构，则应有,抗混迭条件,纯延迟条件,抗混迭条件对滤波器的约束,令,频域、时域等价关係为：,令,由于,中无奇次项，所以有：,中无偶次项,所以，不同支路上的分析、综合滤波器之间是相互偶平 移正交的。,系统在 PR 条件下的传递函数,纯延迟条件对滤波器的约束,由于上式中 k 必为偶数，所以有,共轭镜像正交滤波器组 为了将滤波器组与小波变换相联系，讨论共轭镜像正 交滤波器组。,定义：分析 ( 或综合 )滤波器之间关于 =/2共轭 镜象对称，即滿足正交小波条件,对滤波器的约束 (以分析滤波器为例 ),由抗混迭条件、纯延迟条件可得:,结论：与正交尺度函数( t ) 和正交小波函数 ( t ) 相联系的 H ()和G () 正好构成共轭镜象滤波器组。,四、Mallat算法,算法的基本思想,算法假定:,能否使用共轭镜象滤波器组快速实現正交小波变换,令,巳知:,基本思想: 由,分别递推,的递推算法.其实质在计算序列的小波 级数,称为离散小波变換 (Discrete Wavelet Transforms 简称DWT ),计算公式:,即 f ( t ) 以母小波( t ) 的小波级数，也称为 序列,以母小波( t ) 的离散,小波变换 .,证明：,令m=2k+l,类似可证另一个递推公式。为推导逆运算递推公式，可 考虑,正交基,算法的滤波器实现,令,则有：,因此正交小波级数的分解和重构可以由双通道共 轭镜象滤波器组实现，四个滤波器中，只有一个 独立滤波器。,注意：由于,上面双通道滤波器组也完全满足完全重构条件,抗混迭条件,纯延迟条件,若生成元( t ) 为紧支集函数，则双尺度序列必为 有限长度序列，则有,可以证明正交小波中除Haar小波的滤波器序列(双尺 度序列)是对称的外，其余所有正交小波的滤波器序列 皆不满足对称条件，因而不可能具有线性相位性质。而 不具有线性相位的滤波器将给信号引入较大的相位失真,五、双正交滤波器组与双正交小波,双尺度序列若为对称序列，即构成的滤波器具有线 性相位，则可減少滤波过程的相位失真。於是提 出双正交滤波器组与双正交小波。,双正交滤波器组,定义:仅满足 PR 条件，但不一定满足正交小波条件 的双通道滤波器组。又称对偶滤波器组。,频域等价约束条件：在抗混迭条件的解中取,将上述解代入 PR 条件即得等价条件,说明： 上述滤波器中存在二个独立滤波器，因而可对应一对双正交小波。,对于双正交小波，一般希望滤波器具有线性相位，即,实际工作中，总选取双尺度序列为实序列，其谱必 为偶对称，即,若要尺度函数关于t=0.5对称，可设,由以上假定，(对称双正交小波)可令,双正交小波的举例,双正交小波变換的滤波器组实现,为了得到滤波表达式，可令,