第三章 高阶谱估计,3.1 累量及高阶谱 3.2 高阶谱估计 3.3 有色噪声背景下的频率估计 3.4 高阶谱的应用,3.1 累量与高阶谱,(Cumulants and Higher Order Spectral 简记：HOS) 3.1.1、累量的定义 1、随机变量的特征函数和矩函数,为,的特征函数。其中,为概率密度函数,第二特征函数：,对于高斯分布的随机变量，,其特征函数为:,令,则,根据公式：,则,矩函数的定义,2、累量的定义,对于随机矢量,其阶数为,的累量为,当,时,其n阶累量可记为:,高阶矩与高阶累量的关係(M-C公式):,对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而,3、平稳随机过程的累量 对于零均值实平稳随机过程x(n),其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:,为方差,为斜度,为峭度,当,时,特别称,4、高斯过程的累量,单个高斯随机变量,维零均值高斯随机矢量,其方差矩阵为,其中,令联合概率密度函数为,则特征函数为：,显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为 的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。,对于任何高斯随机过程x(n)的阶次高于二的k阶累量恒等于零,即,这是高阶累量作为数学工具,抑制高斯噪声的基础,因此有如下结论：,高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息. 与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程,其k2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度.,3.1.2、累量的性质,常量乘积的线性,各随机变量的对称性,若x和y统计独立,则,此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k2)阶累量就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声.,两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若x与y统计独立,则,推论:如果w(t)是独立同分布过程(I.I.d), 则其累量为函数.即,3.1.3、高阶谱,1、定义：假定随机过程x(n)的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维富里叶变換，即,当k=3时,三阶谱(双谱),并特别记为：,。 四阶谱(三谱) ：,高阶谱的逆变換公式为：,高斯过程的k2的k阶谱恒为零； 非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即,高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息,(常数),两种特殊的高阶谱：,2、高阶谱的对称性:,高阶谱是以2为周期的多维周期函数,即,包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:,高阶谱具有对称性(源于累量的对称性), 以双谱为例,此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即,所以,双谱共有12个对称区域(如图所示),综合考虑周期性与对称性, 双谱的主值区域为:,3.2 高阶谱估计,从己知一段样本序列x(1),x(2),.,x(N)出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。 3.2.1、非参数法谱估计 1、基本思路： 假定n=N+1范围内,样本值x(n)=0, 由高阶谱的定义直接构造谱估计式。,2、优缺奌：,非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：,频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定n=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。,频率分辨率：在非参数法高阶谱估计中，其富里叶变换都是用DFT实现的。因此，最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比。即用于计算DFT的时间序列长度越长，则频率分辨率越高。,估计方差：可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近 无偏的，但一般存在较大的估计方差。为减少估计 方差，可采用时域平滑或频域平滑的方法，但平滑 的结果必然使频率分辨率下降。,因此，估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾。,3、确定性信号的高阶谱,4、主要方法：,平滑周期图法(直接法),MATLAB实现： bspec,waxis=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap) x：时域信号； nfft：FFT的长度； wind：Rao最优窗函数的长度； samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度； bspec：等高线显示的直接法双谱；waxis：频率点矩阵；,间接法：先估计高阶累量，再进行DFT。,MATLAB实现： bspec,waxis=bispeci(x,nlag, samp_seg, overlap , flag,nfft,wind,) x：时域信号； nfft：FFT的长度；wind：窗函数类型； samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度； nlag：计算累积量的最大延迟；flag：是否有偏； bspec：等高线显示的间接法双谱；waxis：频率点矩阵；,3.2.2、参数法谱估计的基本思路,1、BBR公式:与功率谱估计类似,参数法高阶谱估计仍是依据高阶谱的信号模型。但与功率谱估计不同之处在于：它不限定信号模型为最小相位系统,并且广义白噪声过程e(n)应为非高斯分布。,对于上述信号模型，有卷积定理成立,两边取k阶累量，并注意到广义白噪声的累量为多维函数,即得,写成Z域形式即得,推广到e(n)为非高斯有色噪声的一般情况有:,对于因果非最小相位系统(极点在单位园内,但零 点可在单位园外。所以传递函数必在单位园外收 敛，其单位取样响应必为因果序列)则得,对于常用的双谱和三谱估计,则有:,2、谱估计的基本思路：,由己知的一段样本序列x(n)估计k阶累量,一般k=；,按一定算法迠立k阶累量与信号模型参数的关係式,求解此关係式得模型参数；,按BBR公式求信号x(n)的k阶谱。,所以,k阶谱估计的主要问题是如何执行第二步。,对巳知信号进行去均值的予处理；,3.2.3、MA模型参数估计：,基于MA因果信号模型的算法推导思路与功率谱参数法类似，以BBR公式(相当于第一章所述的谱分解定理)的时域形式为基础进行推导。,1、 c(q,n)公式法；,对于MA信号，其三阶累量可记为：,令,得,此算法对高阶累量估计误差比较敏感，所以实 际中很少采用。公式在理论推导中经常用到。,2、RC算法:相关函数与高阶累量的混合 算法(GM算法)；,功率谱与高阶谱的关系,定义带参量的切片：,作Z变换得,按k阶累量定义,按Z变换的性质必可得,因为功率谱可表示为：,对于,为一维对角切片的Z变换，又称为1.5维谱。, GM方法,假定线性系统为MA模型,个未知数。要使方程可解，方程数必须大于,未知数，如何获得这么多有效方程呢？,所以下式滿足时，上式非零,再考虑到条件,则非零条件为,取,可以建立矩阵方程组,M为,和,构成的矩阵，维数,为,当矩阵M为列满秩时，上述超定方程组有最小 二乘解,并按下式求取MA参数,GM算法有以下几个问题：,(a) 算法把MA参数及其平方同时作为相对 独立的参数进行求解，这样得到的估计只能是次 优的。,(b) 系数矩阵可能不能满足列满秩条件，这 样就没有唯一最小二乘解，而只能计算最小二乘 最小范数解。因此如何选择的取值范围，使具有 列满秩仍是一个未解决的问题。,(c) 当观察数据中含有加性高斯噪声时，由 于噪声自相关函数的存在，可能使算法失效。,RC算法的MATLAB实现： Bvec=maest(x,q,norder,samp_seg,overlap,flag) x：待估计信号； q：ma的阶数； norder：累积量的阶数；overlap：每段重迭数； samp_seg：每个分段长度；flag：估计是否有偏；,定阶算法的MATLAB实现： q=maorder(x,qmin,qmax,pfa,flag) Pfa：允许的出错概率；flag：非零值时显示相关量 P=arorder(x,norder,pmin,pmax,pfa,flag) norder：使用的累积量阶数,ARMA估计的MATLAB实现： avec,bvec=armaqs(x.p,q,norder,maxlag, samp_seg,overlag,flag),3.3 有色噪声中的频率估计,3.3.1、谐波过程的累量 (Cumulantes of Harmonic Processes ),1、谐波过程,相位,为在,内均匀分布的随机变量。,v(n)是与x(n)相独立的有色高斯噪声,令己知的观测信号为：,我们的目的在于：在己知y(n)的条件下， 估计x(n)中各个谐波的幅值与频率, 称为频率估计，或称为谐波恢复。,谐波过程可分为：,无相位耦合过程，即各分量相位之间统计独立；,有相位耦合过程，含二次相位耦合、三次相位耦合等。,2、谐波过程的累量定义,无相位耦合时有,谐波过程的累量定义的依据：,对于平稳过程,其累量定义应与时间起点无关；,其k阶累量不能全部为零；,若,上均匀分布，并令,，则有下列等式成立：,为非零整数,3、无相位耦合过程的累量,奇阶次累量恒为零；,为非零整数,不为零的四阶累量可定义为：,4、二次相位耦合过程的累量：,，,谐波过程中各分量由于相位耦合而相关。,最后可得三阶累量的定义为,由于二次相位耦合，,3.3.2、高斯噪声背景下的谐波恢复,1、线性予测法：,利用高斯噪声的四阶累量为零来抑制噪声的影响；,利用谐波过程为退化的AR过程的原理，将谐波恢复过程转化为ARMA参数辨识过程。,若令,2、谐波过程的四阶累量与二阶累量的关系,则有下式成立：,3、基于特征值分解的谐波分析法,基本思想是利用四阶累量与二阶累量(相关函数)的关係，将功率谱估计中的方法进行推广。,MUSIC法 (Multiple Signal Classification ),包含p个复谐波的谐波信号x(n)的相关矩阵 的秩为P，所以有,前m个特征向量张成信号子空间S，,后(M-p+1)个特征值张成与S正交的噪声 子空间G。,由S与G正交得：,基于高阶累量的MUSIC法的关键是如何由观 测信号y(n)来获取它的相关矩阵的特征矢量,该信号与x(n)的频率完全相同。因此，可通过计 算y(n)的四阶累量来获取它的自相关矩阵及其特 征矢量。,3.3.3、非高斯噪声背景下的谐波恢复,1、利用无相位耦合过程三阶累量恆为零的性质，先估计非高斯噪声参数； 2、使用滤波方法得到MA模型的噪声信号； 3、利用四阶累量与二阶累量的关係，及MA信号的二阶累量为有限长度的性质进行频率估计。,3.4 高阶谱的应用,应用高阶谱的动机大致有以下几点： 3.4.1、 从非高斯信号中提取信息。 这是基于累量描述了信号与高斯分布偏离的程度。实际上，任何周期信号、准周期信号都是非高斯的。例如，复杂的机械系统自身“辐射”的信号都是非高斯的。,根据高斯信号通过线性系统后仍为高斯信号的 规律，通过使用高阶谱检测未知系统在高斯信号输 入下，其输出信号相对于高斯信号的偏离程度来分 析系统的非线性特征。可检测和分析机械系统、电 子系统或其它物理系统，以及一些检测系统，如水 下传感器、空间传感器、心电信号传感器、脑电信 号传感器等所具有的非线性特征。,3.4.2、 检测和定性分析一个系统的 非线性特征。,水下信号、空间信号等的测量噪声都是有色的高斯噪声。高阶谱对高斯噪声是零响应，或称为是盲高斯的。因此，可以较好地从