,矩阵的秩, 2.6,2.6.1 秩的定义,定义,记作 .,定义,矩阵 中，若存在不等于0的 阶子式，,所有的 级子式（如果存在的话）全等于0，则,称这个 阶非零子式为矩阵 的最高阶非零子式。,记为秩 或 .,规定当 时，,矩阵A 的秩是唯一的！,例1,解,可逆(非奇异)矩阵一定是满秩矩阵 不可逆(奇异)矩阵一定是降秩矩阵,定理6,证 由秩的定义， 是 的非零子式的最高阶数，,对 阶方阵 ，由定理，显然有 .,定理7,证,令 ，则矩阵 有最高阶非零子式,并且任意 阶子式 而 分别是,的 阶子式和 阶子式，且,则 是 的最高 阶非零子式，所以,定理8,证 由2.5定理5，,可逆的充要条件为,下面,只要证 的充要条件为 即可.,子式的阶数，而 阶方阵 最高阶子式为,其阶数为 ，所以,反之，若 则 阶方阵 存在一个 阶子,式 不为零，由于 为 阶方阵，因此,为 阶方阵，必有,再由上述定理知，,例2,解,2.6.2 矩阵秩的求法,计算 的3阶子式，,例3,解,定理,上述定理给出了求矩阵的秩的又一方法，只要用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩同理，也可用初等列变换求矩阵的秩,例4,解,第一章中，曾经给出任意 阶矩阵 等价于一个,所以标准形是唯一的.,矩阵 由上述定理可知， 中数 就是,矩阵 的秩，即矩阵 的标准形由 完全确定，,矩阵秩的性质,定理,若存在可逆矩阵 ，使 ，则,证,若存在可逆矩阵 ，使 ，则有,再由等价矩阵具有相同的秩可知，,保持它们的原来顺序，可构成一个新的同行矩阵，,若 为行数相同的矩阵，则以 为子块，,这个矩阵记为 对矩阵 显而易见,因此，,定理,特别当 为非零列向量时，有,证,因此有,因为 的最高阶非零子式总是 的非零,现设,把 和 分别作初等,列变换，化为列阶梯形矩阵 和 ，则 和,中分别含有 个非零列，故可设,从而,由于 中只含 个非零列，因此,而,故,即,当 为非零列向量时，,则有,定理,证,设 为 矩阵，对矩阵 作,于是，,定理,其证明见3.2.,定理,其证明见3.6.,例5,证,设 为 阶方阵，且 ，证明,另一方面，,所以,从而,