第六章 常微分方程,第二节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,方程称为齐次的.,方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,当,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,即,设 为,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,新未知函数 原未知函数,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,将 和 代入原方程得,解,例1,这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次方程的通解.,则,即,求方程 的通解,则,代入所给非齐次方程,得,即,故所得方程的通解为,用常数变易法，把换成u，即令,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,由 得,例 解微分方程,解,由公式得,代入,得,例 解微分方程,解： 两边同除以 ，得一阶线性方程,由公式得,所以,解 将原方程改写为,即,先求出齐次方程,的通解为,再设,代入原方程得,解得,例 解微分方程,则,其中C为任意常数。所以原方程通解为,解 将原方程改写为,即,由公式得,小结,一阶线性微分方程的一般形式,解法,(1)常数变易法,(2)公式法,