第3章 测试系统的特性,3.1 概述 3.2 测试系统的静态特性 3.3 测试系统的动态特性,3.1 概 述,3.1.1 测试系统的基本要求 通常的工程测试问题总是处理输入量x(t)、系统的传输或转换特性h(t)和输出量y(t)三者之间的关系，如图3.1所示。 理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一个输入量，系统都有一个单一的输出量与之一一对应，知道其中一个量就可以确定另一个量，并且以输出和输入成线性关系为最佳。在静态测量中，测试系统的这种线性关系虽然总是所希望的，但不是必须的，因为用曲线校正或用输出补偿技术作非线性校正并不困难。在动态测量中，测试系统本身应该力求是线性系统，这不仅因为目前对线性系统能作比较完善的数学处理与分析，而且也因为在动态测试中作非线性校正还是相当困难或不经济的。由于相当多的实际测试系统不可能在较大的工作范围内完全保持线性，因而只能限制在一定的工作范围内和一定的误差允许范围内，近似地作为线性系统处理。,图3.1 系统、输入和输出之间的关系,3.1.2 线性系统及其主要性质 线性系统的输入x(t)和输出y(t)之间可用下列微分方程来描述：,（3.1）,1.叠加性 若x1(t)y1(t)， x2(t)y2(t)， 则, x1(t) x2(t) y1(t) y2(t) ,（3.2）,即两个输入量共同作用引起的输出量等同于它们分别作用引起的输出量的代数和。,2. 比例性 对于任意常数c都有,cx(t)cy(t),（3.3）,即输入量放大c常数倍，则输出量等同于该输入量引起的输出量的c常数倍。,3. 微分性 系统对输入量微分的响应， 等同于对原输入量响应的微分， 即,（3.4）,4. 积分性 若系统的初始状态为零，则系统对输入量积分的响应， 等同于对原输入量响应的积分，即,（3.5）,5. 频率保持性 若输入为某一频率的正弦(或余弦)信号，则系统的稳态输出将有且只有该同一频率，只不过幅值与相位发生了变化，即,x0 sinty0 sin(t+),线性系统的这些主要性质，特别是频率保持性，在动态测试中具有重要作用。例如已知系统是线性的，其输入信号的频率也已知(如稳态正弦激振)，那么测得信号中就只有与输入信号频率相同的成分才可能是由该输入引起的振动，而其它频率成分都是噪声(干扰)。利用这一性质，就可以采用相应的滤波技术， 即使在很强的噪声干扰下也能把有用的频率成分提取出来。,3.2 测试系统的静态特性,3.2.1 测试系统的误差与精度 1. 测试系统的误差 测试结果与被测量的真值总是不一致的，它们之间的差值称为误差。所谓真值是一个理想的概念，一般是不知道的， 通常用高一等级的标准装置所测得的量值或多次测量的算术平均值来代替。 误差的种类较多，根据其表示方法可分为绝对误差、相对误差和引用误差；根据其特点、性质和产生原因又可分为系统误差、 随机误差和过失误差。,系统误差是指在相同的条件下，多次重复测量同一个量时， 其绝对值和符号固定不变，或改变条件(如环境条件、测量条件)后按一定规律变化的误差。系统误差产生的原因是多方面的，例如测量理论的近似假设、仪器结构的不完善、测量环境的变化及零位调整不好等都会引起系统误差。这类误差的出现是有规律的，容易被人们所掌握，并可采取适当的措施加以修正或消除。,2. 测试系统的精度 测试系统的精度反映测试结果与真值的接近程度。它与误差的大小相对应，因此可用误差的大小来表示精度的高低， 误差小则精度高，反之误差大则精度低。精度可分为精密度、 正确度和准确度(精确度)。 精密度表示多次重复测量中，测量值彼此之间的重复性或分散性大小的程度。精密度反映随机误差的大小，随机误差愈小，测量值就愈密集，重复性愈好，精密度愈高。 正确度表示多次重复测量中，测量平均值与真值接近的程度。正确度反映系统误差的大小，系统误差愈小，测量平均值就愈接近真值，正确度愈高。,准确度(精确度)表示多次重复测量中，测量值与真值一致的程度。准确度反映随机误差和系统误差综合的大小，只有当随机误差和系统误差都小时，准确度才高。准确度也简称为精度。 对于具体的测量，精密度高而正确度不一定高，正确度高而精密度也不一定高，但准确度高，则精密度和正确度都高。 在消除了系统误差的情况下，精密度与准确度才是一致的。,图3.2 精度,衡量精度的性能指标常用相对误差和引用误差来表示。 相对误差,（3.8）,引用误差,（3.9）,我国测试仪表的准确度等级仍多用引用误差的百分数值来表示， 即,（3.10）,在选用测试系统时，应在合理选用量程的条件下再选择合适的精度等级，一般应尽量避免在全量程的1/3以下范围内工作， 以免产生较大的相对误差。,3.2.2 测试系统的静态特性参数 1. 线性度 线性度是指测试系统的输出与输入之间能否像理想系统那样保持常值比例关系(线性关系)的一种度量。在静态测量中， 通常用实验的方法求取系统的输出与输入关系曲线，称为标定曲线，标定曲线与拟合直线的接近程度称为线性度。如图3.3所示，线性度用标定曲线与拟合直线的最大偏差B与满量程输出值A的百分比表示， 即,（3.11）,图3.3 线性度,设拟合直线为,拟合直线的确定常用平均法和最小二乘法。,1） 平均法 平均法确定拟合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与拟合直线偏差的代数和为零，即,拟合直线方程有两个待定系数a与b，为了求它们，首先把实验数据按输入x由小到大依次排列，然后分成个数近似相等的两组。 第一组为x1，x2, xk, 第二组为xk+1, xk+2, ，xn建立相应的两组方程， 并将两组方程分别相加得,（3.12）,解此联立方程便可求出待定系数a与b，从而确定拟合直线方程。,2） 最小二乘法 最小二乘法确定拟合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与拟合直线偏差的平方和为最小，即,为最小。由于偏差的平方均为正值，故若偏差的平方和为最小， 即意味着拟合直线与整个实验数据的偏离程度最小。,按最小二乘法确定待定系数，就是要求出能使Q取最小的a与b值。为此，将Q分别对a和b求偏导数，并令其等于零，得,由此解得,（3.13）,就可确定拟合直线方程。,在动态测量中，系统的线性度在标定时，应在其全量程范围内进行。线性度所描述的是在某一频率点上输出与输入是否呈线性比例关系的一种度量。 因为动态测量的输入一般为周期性的变化，其量值经历正、负和零，所以测试系统的非线性必然引起波形的畸变，导致输出失真。即使输入为单一频率的正弦波，由于波形畸变使输出中必然含有高次谐波，所以在标定时如果发现系统有比较明显的非线性，则说明该系统已不能作为线性系统处理，线性系统的叠加性、频率保持性都不复存在， 更谈不上不失真问题，因此线性度是表述测试系统的重要参数。,2. 灵敏度 灵敏度是测试系统对被测量变化的反应能力，是反映系统特性的一个基本参数。当系统输入x有一个变化量x，引起输出y也发生相应的变化量y，则输出变化量与输入变化量之比称为灵敏度，用S表示，即,在静态测量中，对于呈直线关系的线性系统， 由式（3.7）得,(3.14),式中：b拟合直线的斜率，而非线性系统的灵敏度就是该系统特性曲线的斜率。 ,3. 滞后量(回程误差) 当输入x由小增大，而后又由大减小时，同一个输入量系统会出现不同的输出量。在全量程范围内，同一个输入量的前后两个输出量的最大差值称为滞后量H，如图3.4所示。滞后量也可用最大输出差值H与满量程输出值A的百分比表示，即,（3.15）,实际上滞后量包括了一般的滞后现象和仪器的不工作区(或称死区)。例如，磁性材料由于磁畴变化时材料内阻而形成的磁滞回线，压电材料中的迟滞现象和弹性材料的迟滞现象都将产生滞后现象。而不工作区则是输入变化对输出无影响的范围， 如放大器的零漂、机械设备中的摩擦力和游隙都是存在不工作区的主要原因。,图3.4 滞后量,4. 重复性 重复性表示输入量按同一方向变化时，在全量程范围内重复进行测量时所得到各特性曲线的重复程度，如图3.5所示。 一般采用输出最大不重复误差与满量程输出值A的百分比来表示重复性， 即,（3.16）,重复性可反映测试系统的随机误差的大小。,图3.5 重复性,3.3 测试系统的动态特性,3.3.1 传递函数 对于时不变线性系统，如果x(t)是时间变量t的函数，并且在初始条件t0时x(t)=0，则它的拉氏变换定义为,（3.17）,由此可得x(t)的n阶微分的拉氏变换为,式中： s 复变量， s=+j，且0。,若系统的初始条件为零，即在考察时刻以前(t=0_)，其输出量与输入量以及各阶微分都为零，此时对式（3.1）进行拉氏变换， 可得,线性系统的传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，即,（3.18）,1. 传递函数的特点 传递函数与输入无关，即不因x(t)的不同而异， 只反映测试系统的特性， 所描述的测试系统对任一具体的输入x(t)都确定地给出了相应的输出y(t)。 传递函数是把实际物理系统抽象成数学模型，即式（3.1）所表示的微分方程，然后经过拉氏变换得到的。传递函数只反映测试系统的传输、转换和响应特性，而与具体的物理结构无关。同一形式的传递函数可能表征着完全不同的物理系统， 它们具有相似的传递特性。例如液柱式温度计和简单的RC低通滤波器同是一阶测试系统。动圈式仪表和简单的弹簧、质量、 阻尼系统都是二阶测试系统，它们分别具有相似的传递函数。,由于在实际的物理系统中，输入x(t)和输出y(t)常具有不同的量纲，所以用传递函数描述测试系统传输、转换特性也应该真实地反映这种量纲变换。前面讲到不同的物理系统可能有相似的传递函数，但是系数a0和b0的量纲将因具体物理系统的输入量和输出量的量纲而异。,2. 复杂测试系统的传递函数 实际的测试系统往往由若干个环节通过串联或反馈方式所组成，如图3.6所示。 图3.6(a)为两个环节串联组成的测试系统，其传递函数为,类似地，对n个环节串联组成的测试系统,（3.19）,图3.6(b)为闭环反馈测试系统，其传递函数为,（3.20）,式中，负反馈取 “+” 号，正反馈取 “-” 号。,图3.6 复杂测试系统的传递函数 (a) 两个环节串联组成的测试系统; (b) 闭环反馈测试系统,3.3.2 频率特性 测试系统的频率响应是系统对正弦信号输入的稳态响应， 当由低到高改变正弦输入信号的频率时，输出与输入的幅值比及相位差的变化情况称为测试系统的频率特性。若将s=j代入式（3.17）就可得到,实际上这是单边傅里叶变换（简称傅氏变换），相应式（3.18）将变为,（3.21）,在推导传递函数时，曾经强调了测试系统的初始状态为零。 但是，即使测试系统的初始状态为零，从t=0+所施加的输入也是正弦信号，而测试系统的响应也将由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应取决于测试系统的结构参数，反映测试系统固有特性的 “自然响应” ，稳态响应取决于输入信号的形式。 因为测试系统中存在阻尼，瞬态响应部分经过一段过渡过程而趋于零。,频率特性仅反映测试系统的稳态响应。当输入同一频率的正弦信号时，在时间坐标上，前可推溯至t=-，后将延续至t=+， 因此在观察时刻，瞬态响应早就衰减为零。 由此可见，频率特性不能反映过渡过程，传递函数才能反映全过程。频率特性只是传递函数在特定输入下的描述，这一点在H(j)=H(s)|s=j就已充分反映了。 对于稳定的常系数线性系统，若输入为正弦信号，则稳态响应是与输入同一频率的正弦信号。输出的幅值和相位通常不等于输入的幅值和相位，输出与输入的幅值比和相位差是输入信号频率的函数， 这将反映在频率特性的模和相角上。,若将频率特性的虚部和实部分开， 记作,H(j)=P()+jQ(),(3.22),则P()和Q()都是的实函数。 若将频率特性写成模和相角的形式， 即,(3.23),则,(3.24),(3