第八章,习题课,一、 基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 基本概念,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,2. 多元函数的偏导数、全微分、偏导连续,函数的连续性及其性质,偏导数的实质仍然是一元函数的导数问题,全微分的概念是最难理解的，但计算并不困难,函数可微,混合偏导数相等,一阶偏导数连续,二阶偏导数连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在,函数可微,偏导数连续,函数连续,偏导数存在,3. 几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知,求出 的表达式.,解：,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,1. 正确使用求导法则，,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,正确使用求导符号,2. 偏导数计算中的三个原则：,（1）对某变量求偏导数时，除了该变量以外的其他,变量均看作常数，而对该变量求导,（3）如果函数表达式中有复合成份（特别是抽象复,合）,对自变量求导数,，则首先对中间变量求导数,，再乘以中间变量,（2）偏导数计算中仍然是关注函数的最后一道运算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数,的二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、多元函数微分法的应用,极值与最值应用题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 在过(1, 1, 1)点的所有平面中，,标面围成的四面体体积最小的平面方程.,则四面体体积,求与三坐,解：,设平面方程为,，其中x,y,z满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小体积存在 ,故所求平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,