知上式成立. 其次,设n0为整数, n0- 1 1时,取正整数 k ,使得 n1kn1, k+n1n1,f ( k+n1)= f ( k) +f ( n1 ) . 因此, f ( n1)=f ( k+n1)- f ( k) = (k +n1 ) b -kb=n1b, 矛盾. 当 1时,有n1n1 0, 且1x、y、z、u10的所有四元有序整数组 ( x , y , z , u)的个数. (冷岗松 供题) 参 考 答 案 一、 由柯西不等式,有 ( a + 2b+ 3 c) 2 (12+ 22+ 32) (1 a) 2 +(2 b) 2 +(3 c) 2 =9, 则a+ 2b+ 3c3. 所以,3 -a + 9 -b + 27 -c 3 3 3 - ( a + 2b+ 3 c) 3 3 3 - 3 = 1. 图1 二、 如 图1,对 AMD和直线BEP、 AFD和直线NCP、 AMF和直线BDC 由梅涅劳斯定理,分 别得 AP PD DE EM MB BA = 1. AC CF FN ND DP PA = 1. AB BM MD DF FC CA = 1. 式 、 、 相乘,得 DE EM FN ND MD DF = 1. 又DE=DF,所以,有 DM DM-DE = DN DN-DE DM=DN. 三、(1)假设存在正整数数列 an满足条件. 因为a2n+ 12anan+ 2, an 0,所以, an an- 1 1 2 an- 1 an- 2 1 22 an- 2 an- 3 1 2n - 2 a2 a1 , n= 3,4,. 又 a2 a1 1 22 - 2 a2 a1 ,则有 an an- 1 1 2n - 2 a2 a1对 n= 2,3,4, 成立,所以, 03中 等 数 学 an 1 2n - 2 a2 a1 an- 1 1 2 ( n - 2)+ ( n - 3) a2 a1 2 an- 2 1 2 ( n - 2)+ ( n - 3)+ 1 a2 a1 n- 2 a2. 故an a22 2n - 2 n- 1 2 1 an - 2 1 . 设a222k,2k + 1 ) , k N,取t=k+ 3,则有 at a22 2t - 2 t- 1 2 1 at - 2 1 0. 整理得 (2x- 3)x+ 2 x -a 0 ( x 1,2) . 因为x1,2 ,所以,2x- 3 ( x + 2 x )max ( x 1,2) . 又易知 f ( x) =x+ 2 x 在1,2上递减,则 ( x + 2 x )max= 3 ( x 1,2) . 所以, a 3. 图2 六、 如图2,设AF 的延长线交过点B、 D、F的圆于K.因为 AEF=AKB ,则 AEF AKB.有 EF BK = AE AK = AF AB . 于是,要证式 , 只须证明 CDBK+DFAK=BDAB. 又注意到 KBD=KFD=ACD ,则有 SDCK= 1 2 CDBKsinACD. 进一步有 SABD= 1 2 BDABsinACD , SADK= 1 2 AKDFsinACD. 因此,要证式 ,只须证明 132005年第6期 SABD=SDCK+SADK. 而式 SABC=SAKC BKAC. 再由 BK A=FDB=K AC,知式 成立. 七、(1)如表1所示.表格中有 “3 ” 表示该球队 在该周有主场比赛,不能出访.容易验证,按照表中 的安排,6支球队四周可以完成该项比赛. 表 1 球队第一周第二周第三周第四周 133 233 333 433 533 633 (2)下面证明7支球队不能在四周完成该项比 赛.设Si ( i = 1,2,7)表示第i支球队的主场比赛 周次的集合.假设四周内能完成该项比赛,则Si是 1,2,3,4的非空真子集. 一方面,由于某周内该球队有主场比赛,在这一 周内不能安排该球队的客场比赛,所以, Si ( i = 1,2, ,7)中,没有一个集是另一个的子集. 另一方面,设 A=1 ,1,2 ,1,2,3 , B=2 ,2,3 ,2,3,4 , C=3 ,1,3 ,1,3,4 , D=4 ,1,4 ,1,2,4 , E=2,4 , F=3,4 . 由抽屉原理,一定存在i、j , ij , i、j1,2,3, 4,5,6,7 , Si、Sj属于同一集合A或B或C或D或 E或F,必有SiSj或SiSj发生. 故n的最大值是6. 八、 设f ( a , b, c , d) = a-b a+b + b-c b+c + c-d c+d + d-a d+a . 记A : ( x, y , z , u)| 1x、y、z、u10, f ( x , y , z , u)0 , B : ( x, y , z , u)| 1x、y、z、u10, f ( x , y, z , u) 0 x-y x+y + y-z y+z + z-u z+u + u-x u+x 0 x-u x+u + u-z u+z + z-y z+y + y-x y+x 2) ,从点A作 O的两条 切线,分别与直线l交于B、C两点.求线段 PB与线段PC的长度之乘积. (冷岗松 司 林 供题) 六、 将数集A= a1,a2,an中所有元 素 的 算 术 平 均 值 记 为P(A) P(A ) = a1+a2+an n .若B是A的非 空子集,且P(B ) = P(A ) , 则称B是A的一 个 “均衡子集”.试求数集M= 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 ,8 ,9的所有 “均衡子集” 的个数. (陶平生 供题) 七、(1)讨论关于x的方程 |x+ 1| + |x+ 2| + |x+ 3| =a 的根的个数; (2)设a1,a2,an为等差数列,且 |a1| + |a2| + |an| = |a1+ 1| + |a2+ 1| + |an+ 1| =|a1- 2| +|a2- 2| +|an- 2| =507. 求项数n的最大值.(林 常 供题) 八、 设0 0 ,得k 3或 k 5; 当k 3时,x= 2 - 9 k2- 9 +k ,可得 - 1 2时,方程 有两个解. (2)因为方程|x| = |x+ 1| = |x- 2|无解,故n2且公差不为0.不 妨设数列的各项为a-kd (1 kn,d 0) .作函数 f(x ) = n k=1 |x-kd| . 于是,本题条件等价于f(x) = 507至少有三个 不同的解a、a+ 1、a- 2 ,此条件又等价于函数 y=f(x)的图像与水平直线y= 507至少有三个不同 的公共点. 由于y=f(x)的图像是关于直线x= (n + 1) d 2 左右对称的n+ 1段的下凸折线,它与水平直线l有 三个公共点当且仅当折线有一水平段在l上,当且 仅当n= 2m且a、a+ 1、a- 2md , ( m + 1) d , f(md) = 507 ,即d3且m2d= 507. 由此得m2507 3 ,m13. 132005年第10期 显然,m= 13时,取d= 3 ,a= 41满足本题条件. 因此,n的最大值为26. 八、 令a= sin,b= sin,c= sin,则a、b、c (0 ,1)且 a3+b3+c3= 1 , a-a3= 2 2 2a2 (1 - a2) 2 2 2 2a2+ 1 -a2+ 1 -a2 3 3 = 2 3 9 . 同理,b-b32 3 9 ,c-c32 3 9 . 故 a2 1 -a2 + b2 1 -b2 + c2 1 -c2 = a3 a-a3 + b3 b-b3 + c3 c-c3 3 3 2 (a3+b3+c3) = 3 3 2 . 注意到 tan2= sin2 1 - sin2= a2 1 -a2 , tan2= sin2 1 - sin2= b2 1 -b2 , tan2= sin2 1 - sin2= c2 1 -c2 , 所以,tan2+ tan2+ tan2 3 3 2 . 注:易知上述不等式等号不能成立. (吴伟朝 提供) 第45届IMO预选题(中) 李 建 泉 译 (天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300074) 组 合 部 分 1.一所大学有10 001名学生,一些学生 一起参加并成立了几个俱乐部(一个学生可 以属于不同的俱乐部 ) , 有些俱乐部一起加入 并成立了几个社团(一个俱乐部可以属于不 同的社团 ) . 已知共有k个社团.假设满足下 列条件: (1)每一对学生(即任意两个学生)都恰 属于一个俱乐部; (2)对于每个学生和每个社团,这个学生 恰属于这个社团的一个俱乐部; (3)每个俱乐部有奇数个学生,且有2m +1个学生的俱乐部恰属于m个社团,其中 m是正整数. 求k的所有可能的值. 2.设n、k是正整数.已知平面上有n个 圆,每两个圆有两个不同的交点,它们确定的 所有交点是两两不同的.每个交点必须被染 上n种不同的颜色之一,使得每种颜色至少 用一次,每个圆上恰用k种不同的颜色.求 所有的n(n 2) 、k的值,使得这样的染色是 可以实现的. 3.对一个有限图可以进行如下操作:选 择任意一个长度为4的回路,任意选择这个 回路中的一条边,并将其从图中删掉.对于固 定的整数n(n4) ,若将n个顶点的完全图 重复进行如上的操作,求所得图q的边的数 目的最小值. 4.考虑一个nn的矩阵,其每一项元 素都是绝对值不超过1的实数,且所有元素 的和是0.设n是正偶数,求c的最小值,使 得每个这样的矩阵都存在一行或一列,其上 元素和的绝对值不超过c. 5.设N是一个正整数,甲、 乙两名选手 轮流在黑板上写集合1 ,2 ,N中的数,甲 先开始,并在黑板上写了1 ,然后,如果一名 选手在某次书写中在黑板上写了n,那么,他 的对手可以在黑板上写n+ 1或2n(不能超 过N ) . 规定写N的选手赢得比赛.我们称N 是A型的(或B型的 ) , 是根据甲(或乙)有赢 得比赛的策略. 23中 等 数 学 第三届中国东南地区数学奥林匹克 第 一 天 一、 设ab0 , f(x ) = 2( a+b)x+ 2ab 4x+a+b . 证明:存在唯一的正数x,使得 f(x ) = a 1 3 +b 1 3 2 3 .(李胜宏 供题) 图1 二、 如图1 ,在 ABC 中,ABC= 90,D、G 是边CA上的两点,联结 BD、BG.过点A、G分别 作BD的垂线,垂足分别 为E、F,联结CF.若BE =EF,求证:ABG=DFC. (熊 斌 供题) 三、 一副纸牌共52张,其中,“方块” 、“梅 花” 、“红心” 、“黑桃” 每种花色的牌各13张, 标号依次是2 ,3 ,10 ,J ,Q ,K,A.相同花色、 相邻标号的两张牌称为 “同花顺” 牌,并且A 与2也算同花顺牌(即A可以当成1使用 ) . 试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标 号的牌都出现,并且不含同花顺牌的取牌方 法数. (陶平生 供题) 四、 对任意正整数n,设an是方程x 3 + x n = 1的实数根.求证: (1)an+ 1an; (2) n i= 1 1 (i + 1) 2 ai 1) ,证明:不 定方程mn+nr+mr=k(m+n+r)至少有 3k+ 1组正整数解(m,n,r ) . (袁汉辉 供题) 八、 对于周长为n(nN+)的圆,称满