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第2章 矩阵,2.1 矩阵的概念,2.1.1矩阵的定义 定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表 称为一个 行 列矩阵,简称 矩阵,记为或 ,其中 表示位于第 行第 列的数, 称为 的元素(或元),所以 矩阵也可以简 记为 或 ,2.1.2 几种特殊形式的矩阵 (1)行矩阵 当 时,即只有一行的矩阵 或 称为行矩阵或行向量 (2)列矩阵 当 时,即只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量,(3)零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 例如, 的零矩阵可记为 (4)方阵 行数和列数都等于 的矩阵,称 为 阶矩阵或 阶方阵,记为 ,,即 其中元素 称为 阶方阵的主对角 元素,过元素 的直线称为 阶方阵 的主对角线 (5) 阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵,即,记为,或,其中未写出的元素全为零,(6) 阶单位矩阵 主对角元素全为1,其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵,即 且 记为 或,(7) 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵,称为 阶数量矩阵,记为 或,2.2 矩阵的运算,2.2.1 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 定义2 两个 的同型矩阵 和 的 对应元素相加,所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ,即,例1 设 则 而 无意义,2数与矩阵的乘法 定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素, 所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩 阵,简称数乘,记为 ,即 当 时,称 为矩阵 的负矩阵,显然有,所以矩阵的减法可定义为 矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线 性运算,其运算规律: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ,例2 设 且 ,求矩阵 解 在 等式两端同加上 ,得,上式两端同乘 ,得,2.2.2 矩阵与矩阵相乘 定义4 设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,则规定 与 的乘积是一个 矩阵 ,其中 记为,例3 设矩阵 求乘积 解,例4 设矩阵 , 求 及 解,例5 设 , 求 与 解,,,矩阵乘法的运算规律(假设运算都是可行的): (1)结合律: (2)分配律: (3)对任意数 有 (4)设 是 矩阵 ,则 , 或简记为 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元,作用类似于乘法中的数1,定义5 方阵 的 次幂定义为 个方阵 连乘,即 其中 为正整数,规定 ,其运算规律: (1) ; (2) 为正整数 因为矩阵乘法不满足交换律,所以两个 阶方阵 与 ,一般来说,2.2.3 矩阵的转置 定义6 将 矩阵 的行换成同序数的列,所得的 矩阵称为 的转置矩阵,记为 或 ,即 其运算规律: (1) ;,;,(2) ; (3) ; (4) 例6 已知 求 解法1 因为,所以 解法2,定义7 设 为 阶方阵,若满足 ,则称 为对称矩阵,即 其特点是:关于主对角线对称的元素相等 若满足 ,则称 为反对称矩阵,即 ,当 时, , 其特点是:关于主对角线对称的元素相反,主 对角线上的元素全为零,2.2.4 方阵的行列式 定义8 由 阶方阵 的所有元素(位置不变)构成的行列式,称为方阵 的行列式,记为 或 ,即 其运算规律: (1) (行列式性质1); (2) 为 阶方阵) ; (3),2.2.5 共轭矩阵 当 为复矩阵时,用 表示 的共轭复 数,记 , 称为 的共轭矩阵 其运算规律(设 , 为复矩阵, 为复数,且 运算都是可行的): (1) ; (2) ; (3) ,2.3 逆矩阵,2.3.1 逆矩阵的定义及性质 定义9 设 为 阶方阵,若存在 阶方阵 ,使 ,则称方阵 可逆, 为 的逆矩阵 若 可逆,则 的逆矩阵是惟一的 可逆矩阵的性质: (1) 若 可逆,则其逆阵 也可逆,且 (2)若 可逆,则 也可逆,且,(3)若 可逆, 为非零常数,则 也可逆,且 (4)若 , 为同阶可逆阵,则 也可逆,且,;,2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法 定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵 称为矩阵的伴随矩阵.,定理1 设 是 阶方阵, 为 的伴随矩阵,则 定理2 阶方阵 可逆 ,且 推论 若 ,则 ,例1 设 判断 是否可逆,若可逆,求 解 因为,所以 可逆,又因为 有,所以 例2 设 求矩阵 ,使满足 . 解 若 , 存在,则用 左乘上式, 右乘上式,,有 即 由例1知, 可逆,且 又因 , 也可逆,且,所以,2.4 分块矩阵,2.4.1 分块矩阵的概念 设 是 矩阵,用若干条横线和竖线将 矩阵分成若干个小块,每一小块作为一个小矩 阵,称为 的子块(或子矩阵),在进行矩阵 运算时,可以将 的每一个子块作为一个元 素,这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分 块矩阵,2.4.2 分块矩阵的运算 1.分块矩阵的线性运算 分块矩阵的加法 设 与 为同型矩阵,且以相同的方式分块,即 其中 与 也是同型矩 阵,则,数与分块矩阵的乘法 设 为数,则,2.分块矩阵的乘法 设 为 矩阵, 为 矩阵,若它们 的分块矩阵分别为 其中子块 的列数分别等 于子块 的行数,即矩阵 的列的分法与矩阵 的行的分法一致,则,其中 例1 设 求 ,解 将 、 分块成,3.分块矩阵的转置 设 则 4分块对角阵及其运算 设 为 阶方阵,若 的分块矩阵的主对角元素 为非零子块,其余子块均为零子块,且非零子 块均为方阵,,或 其中 为方阵,则称 为分块对 角阵 分块对角阵的行列式与各主对角块的行列 式满足:,由此可知,若 ,则 , 并有 或,例2 设 求 解 将 按元素特征分块为 其中,所以,2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵,2.5.1 矩阵的初等变换 1初等行(列)变换 定义11 下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对换变换:对换矩阵的某两行 (对换 两行,记为 ); (2)数乘变换:非零数 乘矩阵某行的所有元素(第 行乘 ,记为 ); (3)倍加变换:将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上(第 行的 倍加到 行上,记为 ),若将上述定义中的“行”换成“列”,即对矩阵的列施行上面三种变换,就称为矩阵的初等列变换,相应的初等列变换分别记 , , 2初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换 统称为矩阵的初等变换 3等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换 化为矩阵 ,则称 与 等价,记为 矩阵的等价具有以下性质: (1)自反性: ;(2)对称性:若 则 ;(3)传递性:若 , ,则,4特殊矩阵 (1)行阶梯形矩阵 如果矩阵中元素全为零的 行在最下面,而非零行中非零元素自上而下逐 行减少并呈阶梯状,称此矩阵为行阶梯形矩阵 (2)行最简形矩阵 若行阶梯形矩阵中的非零 行的第一个非零元素为1,且1所在列的其它元素 全为零,称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵 (3)若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵, 其余元素全为零,即,称此矩阵为标准形矩阵,它由 三个数 惟一确定,其中 为标准形矩阵中非零行的行 数,2.5.2 初等矩阵 定义12 单位矩阵经一次初等变换所得的矩 阵称为初等矩(方)阵 三种初等行变换对应的三种初等矩阵分别为: (1) 或 :交换 的 两行(列)所得的矩阵,即,(2) 或 : 的第 行(列)乘非零 数 所得的矩阵,即 (3) 或 : 的第 行乘 加到第 行(第 列乘 加到第 列)所得的矩阵,,即 初等矩阵都是可逆的,其逆矩阵仍是同种初等矩阵,即,定理3 设 为 矩阵,对 施行一次初等 行变换,相当于在 的左边乘以相应的 阶初 等矩阵;对 施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵 定理4 若 为 矩阵,则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ,使 得 推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 推论2 若方阵 可逆,则存在有限个初等矩 阵 ,使 ,推论3 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ,使 用初等列变换也可求逆矩阵,即 例1 设 求 ,例16 设,解,所以,例2 求矩阵 ,使 ,其中 解 若 可逆,则 ,所以,2.6 矩阵的秩,2.6.1 矩阵秩的定义 定义13 设 为 矩阵,在 中任取 行和列 ,位于这 行 列交叉 位置上的 个元素,按原有的位置构成的 阶方阵,称为矩阵 的一个 阶子方阵,其行列式称为 的一个 阶子式 定义14 设 矩阵 中,有一个 阶子式 不等于零,而所有 阶子式(如果存在)全等于零,则称 为矩阵 的最高阶非零子式,称数 为矩阵 的秩,记为 并规定零矩阵的秩为零,2.6.2 矩阵秩的性质 (1)设 为 矩阵,则 ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) , 其中 为 矩阵, 为矩阵 ,2.6.3 初等变换求矩阵的秩 定理5 若 ,则 推论1 若 为 阶可逆矩阵,则 推论2 若 则 推论3 设 为 矩阵, 、 分别为 阶和 阶 满秩矩阵,则,推论3 设,为,例 设 求矩阵 的秩 解 将 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵
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