概率与统计,开课系：非数学专业 教师: 叶梅燕 e-mail: yemeiyan ncu.edu.cn,教材：概率论与数理统计 王松桂 等编 科学出版社2002,参考书：1.概率论与数理统计 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 2. 概率论与数理统计 魏振军 编 中国统计出版社,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,目 录,第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性,1.1随机事件及其概率 一、随机试验(简称“试验”),随机试验的特点(p1) 1.可在相同条件下重复进行； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 随机试验常用E表示,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数； E4:掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。,随机实验的例子,随机事件,二、样本空间(p2),1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 =e； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.,幻灯片 6,随机事件,1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时）。,三、事件之间的关系,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。,1.包含关系(p3)“ 事件 A发生必有事件B发生” 记为AB AB AB且BA.,2.和事件： (p3)“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB,2n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生，记作 ABAB,3n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,4.差事件(p5) ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB ,6. 互逆的事件(p5) AB , 且AB ,五、事件的运算(p5),1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,1.2 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量,?,P（A）应具有何种性质？,?,* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？,(p10)若某实验E满足： 1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：（公认） P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型与概率,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N()记样本空间 中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质(P7),(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率(P10):,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,二、古典概型的几类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 （也可推广到若干途径）,这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有,种取法.,1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题 例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,P9,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,3.分组问题 例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（A）=？,?,定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.3 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质 P(10-13) (1) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3)事件差 A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (3) 互补性：P(A)1 P(A); (5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,EX,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除; B-取到的数能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条